Chaque méthode de maths repose sur un principe simple, une fois qu’on l’a bien compris. C’est tout l’objet de cette rubrique « la méthode du jour », en partenariat avec metmat.fr : t’expliquer pas à pas une technique à connaître, avec un exercice corrigé à la clé.
Présentation de la méthode
Comment étudier les variations et les extrema d’une fonction trigonométrique ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En calculant \(f’\), en étudiant son signe sur l’intervalle considéré, puis en dressant le tableau de variations
L’objectif est de déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction trigonométrique, ainsi que ses valeurs maximales et minimales.
Pour cela, le principe est qu’une fonction est croissante là où sa dérivée est positive et décroissante là où elle est négative ; les extrema se trouvent aux points où la dérivée s’annule en changeant de signe.
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Étudier les variations de \(f(x) = \sin x + \cos x\) sur \([0 ; 2\pi]\).
Le détail de la méthode par étape
- **Calculer \(f'(x)\)** en appliquant les règles de dérivation (composée, produit, quotient) selon l’expression de \(f\).
- **Résoudre \(f'(x) = 0\)** sur l’intervalle considéré : ce sont les candidats aux extrema. Utiliser les équations trigonométriques si nécessaire.
- **Étudier le signe de \(f'(x)\)** sur chaque sous-intervalle délimité par les zéros de \(f’\).
- **Dresser le tableau de variations** : indiquer les valeurs de \(f\) aux bornes et aux points critiques, et les flèches de variation (\(\nearrow\) si \(f’ > 0\), \(\searrow\) si \(f’ < 0\)).
- **Conclure sur les extrema** : un maximum local est atteint quand \(f’\) change de signe de \(+\) à \(-\), un minimum local quand \(f’\) change de signe de \(-\) à \(+\).
À toi de jouer sur cet exercice !
Étudier les variations de \(f(x) = \sin x + \cos x\) sur \([0 ; 2\pi]\).
Voir la correction
\(f'(x) = \cos x – \sin x\).
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\). Sur \([0 ; 2\pi]\) : \(x = \dfrac{\pi}{4}\) et \(x = \dfrac{5\pi}{4}\).
Sur \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{4}\right]\) : tester \(x = 0\) : \(f'(0) = 1 – 0 = 1 > 0\). Sur \(\left[\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4}\right]\) : tester \(x = \dfrac{\pi}{2}\) : \(f’\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 – 1 = -1 < 0\). Sur \(\left[\dfrac{5\pi}{4} ; 2\pi\right]\) : tester \(x = \dfrac{3\pi}{2}\) : \(f’\!\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 + 1 = 1 > 0\).
Tableau de variations : \(f(0) = 1\), \(f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\), \(f\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\), \(f(2\pi) = 1\). \(f\) croît sur \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{4}\right]\), décroît sur \(\left[\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4}\right]\), croît sur \(\left[\dfrac{5\pi}{4} ; 2\pi\right]\). « `graph {“type »:”cartesian”,”xRange”:[-0.3,6.6],”yRange”:[-1.6,1.6],”elements”:[{« kind »:”function”,”expr”:”Math.sin(x)+Math.cos(x)”,”color”:”blue”},{« kind »:”point”,”x”:0.785,”y”:1.414,”color”:”red”,”label”:”max √2″},{« kind »:”point”,”x”:3.927,”y”:-1.414,”color”:”red”,”label”:”min -√2″}]} “`
\(f\) admet un maximum \(\sqrt{2}\) en \(x = \dfrac{\pi}{4}\) et un minimum \(-\sqrt{2}\) en \(x = \dfrac{5\pi}{4}\).
\(f\) est maximale en \(x = \dfrac{\pi}{4}\) avec \(f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\), et minimale en \(x = \dfrac{5\pi}{4}\) avec \(f\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\).
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
N’hésite pas à refaire cet exercice sans regarder la correction, puis à comparer ta démarche à celle proposée ici. C’est en la répétant que la méthode devient un vrai réflexe.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
👉 Voir d’autres méthodes sur Fonctions sinus et cosinus sur metmat.fr
