Progresser en maths, c’est avant tout accumuler des méthodes qu’on maîtrise vraiment. Dans cette rubrique conçue avec metmat.fr, on t’en détaille une nouvelle aujourd’hui : à quoi elle sert, comment elle fonctionne, et comment l’appliquer sur un exemple corrigé.
Présentation de la méthode
Comment appliquer la formule d’Al-Kashi ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En appliquant \(BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{A})\) pour trouver un côté
L’objectif est de calculer la longueur du troisième côté d’un triangle connaissant deux côtés et l’angle compris.
Pour cela, le principe est que la formule d’Al-Kashi \(BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC})\) relie les trois côtés d’un triangle à l’un de ses angles.
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Dans le triangle \(ABC\), \(AB = 5\), \(AC = 7\) et \(\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\). Calculer \(BC\).
Le détail de la méthode par étape
- Identifier les deux côtés connus et l’angle compris entre eux.
- Appliquer la formule d’Al-Kashi : \(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos(\widehat{A})\) où \(a\) est le côté opposé à l’angle \(\widehat{A}\).
- Calculer le résultat et prendre la racine carrée pour obtenir la longueur cherchée.
À toi de jouer sur cet exercice !
Dans le triangle \(ABC\), \(AB = 5\), \(AC = 7\) et \(\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\). Calculer \(BC\).
Voir la correction
On connaît \(AB = 5\), \(AC = 7\) et l’angle compris \(\widehat{BAC} = \dfrac{\pi}{3}\).
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 25 + 49 – 2 \times 5 \times 7 \times \dfrac{1}{2}\).
\(BC^2 = 74 – 35 = 39\), donc \(BC = \sqrt{39}\).
\(BC = \sqrt{39}\)
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Garde ces étapes en tête la prochaine fois que tu tomberas sur un exercice similaire : c’est exactement ce enchaînement de raisonnement qui est attendu.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
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