Chaque méthode de maths repose sur un principe simple, une fois qu’on l’a bien compris. C’est tout l’objet de cette rubrique « la méthode du jour », en partenariat avec metmat.fr : t’expliquer pas à pas une technique à connaître, avec un exercice corrigé à la clé.
Présentation de la méthode
Comment calculer \(P(X \leq k)\), \(P(X \geq k)\), \(P(k \leq X \leq k’)\) pour une loi binomiale ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En calculant la somme des termes \(P(X = i)\) pour les valeurs \(i\) concernées, en utilisant éventuellement \(P(X \geq k) = 1 – P(X \leq k-1)\)
L’objectif est de calculer \(P(X \leq k)\), \(P(X \geq k)\) ou \(P(k \leq X \leq k’)\) pour \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\) en sommant les probabilités ponctuelles nécessaires.
Pour cela, le principe est que la probabilité cumulée s’obtient par \(P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}\), et on utilise la complémentarité \(P(X \geq k) = 1 – P(X \leq k-1)\) pour réduire le nombre de termes à calculer.
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Soit \(X \sim \mathcal{B}(5 ; 0{,}4)\). Calculer \(P(X \leq 2)\).
Le détail de la méthode par étape
- Identifier l’intervalle de valeurs concerné par l’événement (par exemple \(\{0, 1, \ldots, k\}\) pour \(X \leq k\)).
- Si cet intervalle est «petit» (peu de termes), calculer directement chaque \(P(X = i) = \dbinom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}\) et additionner.
- Si l’intervalle est «grand», passer par le complémentaire : \(P(X \geq k) = 1 – P(X \leq k-1)\), ou \(P(k \leq X \leq k’) = P(X \leq k’) – P(X \leq k-1)\), de façon à sommer le moins de termes possible.
- Donner la valeur numérique finale (exacte ou arrondie selon la consigne).
À toi de jouer sur cet exercice !
Soit \(X \sim \mathcal{B}(5 ; 0{,}4)\). Calculer \(P(X \leq 2)\).
Voir la correction
\(P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\). L’intervalle \(\{0, 1, 2\}\) compte 3 termes.
\(P(X=0) = (0{,}6)^5 = 0{,}07776\) ; \(P(X=1) = 5 \times 0{,}4 \times (0{,}6)^4 = 0{,}2592\) ; \(P(X=2) = 10 \times (0{,}4)^2 \times (0{,}6)^3 = 0{,}3456\).
L’intervalle est petit, donc on additionne directement les trois termes.
\(P(X \leq 2) = 0{,}07776 + 0{,}2592 + 0{,}3456 = 0{,}68256\).
\(P(X \leq 2) \approx 0{,}683\)
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
N’hésite pas à refaire cet exercice sans regarder la correction, puis à comparer ta démarche à celle proposée ici. C’est en la répétant que la méthode devient un vrai réflexe.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
👉 Voir d’autres méthodes sur Loi binomiale — Schéma de Bernoulli sur metmat.fr
