As-tu déjà entendu parler du théorème de Pythagore, mais tu ne te souviens plus exactement comment il fonctionne ? Ou peut-être es-tu au collège et tu souhaites découvrir ce qu’est ce fameux théorème ? Dans les deux cas, tu es au bon endroit ! On t’explique tout de A à Z pour que tu comprennes et appliques le théorème de Pythagore sans difficulté.
Qu’est-ce que le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore est l’un des concepts les plus importants en géométrie, et il s’applique uniquement aux triangles rectangles. Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90°.
Le théorème de Pythagore énonce que :
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Mais qu’est-ce que l’hypoténuse ? On t’explique tout juste en dessous.
Comment reconnaître l’hypoténuse pour appliquer le théorème de Pythagore ?
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est aussi le côté le plus long du triangle rectangle. Pour bien l’identifier, il suffit de repérer l’angle droit et de chercher le côté qui ne le touche pas.
Voici quelques triangles rectangles. À toi de reconnaître l’hypoténuse dans chacun d’eux !
Dans les triangles ci-dessus, les hypoténuses sont :
– Triangle ABC : AB
– Triangle EFD : EF
– Triangle IGH : IH
👉🏻 Pourquoi ces réponses ?
- Dans le triangle ABC, rectangle en C, les côtés adjacents à l’angle droit sont AC et BC. Le côté opposé à l’angle droit est donc AB.
- Dans le triangle EFD, rectangle en F, les côtés adjacents à l’angle droit sont ED et FD. Le côté opposé à l’angle droit est donc ED.
- Dans le triangle IGH, rectangle en G, les côtés adjacents à l’angle droit sont IG et GH. Le côté opposé à l’angle droit est donc IH.
L’égalité du théorème de Pythagore
Maintenant que tu sais identifier l’hypoténuse, passons à l’égalité. Si on prend un triangle rectangle ABC, rectangle en C, alors :
AB² = AC² + BC²
où :
- AB est l’hypoténuse,
- AC et BC sont les deux autres côtés (appelés côtés adjacents à l’angle droit).
Comment bien rédiger l’application du théorème de Pythagore ?
Pour appliquer le théorème de Pythagore, il faut suivre une rédaction claire et précise. Voici un exemple : calculons la longueur AB du triangle rectangle ABC ci-dessous.
Énonçons l’hypothèse :
Soit ABC un triangle rectangle en C.
Appliquons le théorème de Pythagore :
D’après le théorème de Pythagore, on a : AB² = AC² + BC².
Remplaçons par les valeurs numériques :
On sait que AC = 5 et BC = 13, donc : AB² = 5² + 13² = 25 + 169 = 194.
Calculons la longueur de l’hypoténuse :
Ainsi, AB = √194 ≈ 13,93.
Ce qu’il ne faut surtout pas oublier lorsque l’on applique le théorème de Pythagore
- L’hypothèse : Toujours préciser que le triangle est rectangle avant d’appliquer le théorème.
- La racine carrée : Une fois que tu as calculé le carré de l’hypoténuse, n’oublie pas de prendre la racine carrée pour trouver la longueur du côté.
- Les unités : Si les longueurs sont données en cm, le résultat sera aussi en cm.
Exercices d’application sur le théorème de Pythagore
Exercice 1 – Calculer la longueur de l’hypoténuse grâce au théorème de Pythagore
Prenons un triangle rectangle IGH, rectangle en G, avec :
- IG = 4 cm
- GH = 5 cm
Calcule la longueur de l’hypoténuse IH.
Solution :
Soit IGH un triangle rectangle en G, d’après le théorème de Pythagore, on a : IH² = IG² + GH².
On sait que IG = 4 et GH = 5, donc : IH² = 4² + 5² = 16 + 25 = 41.
Ainsi, IH = √41 ≈ 6,4 cm.
La longueur du côté IH est 6,4 cm.
Exercice 2 – Calculer la longueur d’un côté adjacent à l’hypoténuse grâce au théorème de Pythagore
Prenons un triangle rectangle EFD, rectangle en F, avec :
- EF = 12 cm
- ED = 3 cm
Calcule la longueur du côté FD.
Solution :
Le triangle rectangle EFD est rectangle en F, donc d’après le théorème de Pythagore : EF² = ED² + FD².
On sait que EF = 12 cm et ED = 3 cm, donc : 12² = 3² + FD².
Ainsi, FD² = 12² – 3² = 144 – 9 = 135.
Donc, FD = √135 ≈ 11,62 cm.
Exercice 3 – Vérifier qu’un triangle est bien rectangle
D’après le théorème de Pythagore, vérifie que le triangle XYZ est rectangle.
Soit le triangle XYZ avec :
- XY = 4 cm
- YZ = 5 cm
- ZX = 3 cm
Solution :
Le plus grand côté est YZ = 5 cm.
Calculons les carrés des côtés :
- YZ² = 5² = 25
- XY² + ZX² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
On constate que YZ² = XY² + ZX².
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle XYZ est rectangle en X.
Avec ces explications et exercices, tu es maintenant prêt(e) à maîtriser le théorème de Pythagore !