Calcul du volume d’un cylindre : tout ce qu’il faut savoir

Calculer volume cylindre

Au sommaire de cet article 👀

Si tu es au collège ou au lycée, cet article est fait pour toi ! Le volume d’un cylindre, ça te dit quelque chose ? C’est une notion clé en mathématiques et que tu sois en train de la découvrir ou de la revoir pour le bac, mieux vaut bien la maîtriser. Pour t’aider à éviter les pièges et à réussir tous tes calculs, voici un article ultra-clair et précis sur le calcul du volume d’un cylindre. Prêt(e) à devenir un(e) pro du cylindre ? C’est parti !

Qu’est-ce qu’un cylindre ?

Un cylindre, c’est une figure géométrique en 3D, un solide avec deux disques identiques (même rayon !) et une hauteur qui les sépare. En gros, c’est comme une canette de soda ou un rouleau de papier toilette. C’est une forme qu’on retrouve partout dans la vie quotidienne, mais aussi en maths, en physique et en ingénierie.

La formule pour calculer le volume d’un cylindre 

Maintenant, passons à l’essentiel : comment calculer le volume d’un cylindre ? Voici la formule à retenir :
\( V = π × r² × h \)

Décortiquons-la ensemble :

  • \( \pi \) : c’est une constante mathématique, environ égale à 3,14. Elle est indispensable pour tout ce qui concerne les cercles.
  • \( r² \) : c’est le rayon du cylindre élevé au carré. Le rayon, c’est la moitié du diamètre, donc n’oublie pas de le mesurer correctement !
  • \( h \) : la hauteur du cylindre, c’est-à-dire la distance entre les deux bases circulaires.

En multipliant ces trois éléments, tu obtiens le volume du cylindre, exprimé en cm³, m³, etc.  C’est aussi simple que ça !

Pour y voir plus clair, voici un schéma du cylindre avec un rayon de base \( r \) et de hauteur \( h \) ! (Graphique extrait du site de l’APMEP)

Exercices d’entraînement – Le calcul du volume d’un cylindre

Tu maîtrises la théorie ? Parfait ! Maintenant, place à la pratique. Rien de mieux que quelques exercices pour s’assurer que tu as bien compris comment calculer le volume d’un cylindre. Prends ta calculatrice et teste tes connaissances !

Exercice 1 (d’après le brevet des collèges, Asie, 24 juin 2019) – Cylindre

Pour fabriquer un puits dans son jardin, Mme Martin a besoin d’acheter 5 cylindres en béton comme celui décrit ci-dessous.

Dans sa remorque, elle a la place pour mettre les 5 cylindres mais elle ne peut transporter que 500 kg au maximum.

À l’aide des caractéristiques du cylindre, déterminer le nombre minimum d’allers-retours nécessaires à Mme Martin pour rapporter ses 5 cylindres avec sa remorque.

Caractéristiques d’un cylindre :

  • diamètre intérieur : \(\ 90 cm \)
  • diamètre extérieur : \(\ 101 cm \)
  • hauteur: \(\ 50 cm \)
  • masse volumique du béton : \(\ 2400 kg/m^3 \)

Correction de l’exercice – Cylindre

Pour déterminer le nombre d’allers-retours nécessaires à Mme Martin, calculons d’abord la masse des cylindres. Le cylindre a un diamètre intérieur de 0,9 m (rayon 0,45 m) et extérieur de 1,01 m (rayon 0,505 m), avec une hauteur de 0,5 m. Le volume intérieur est \( \pi \times (0,45)^2 \times 0,5 \approx 0,318 \) m³, et sa masse est \( 0,318 \times 2400 = 763,2 \) kg. Le volume extérieur est \( \pi \times (0,505)^2 \times 0,5 \approx 0,401 \) m³, et sa masse est \( 0,401 \times 2400 = 962,4 \) kg. La masse du cylindre creux est d’environ 199,2 kg. Or \( 199,2 \times 3 = 597,6 > 500 \) et \( 199,2 \times 2 = 398,4 \) donc Mme Martin devra faire 3 allers-retours.

Exercice 2 (d’après le brevet des collèges, Centres étrangers 14 juin 2019) – Cylindre

Une famille désire acheter, pour les enfants, une piscine cylindrique hors sol équipée d’une pompe électrique. Elle compte l’utiliser cet été du mois de juin au mois de septembre inclus. Elle dispose d’un budget de 200 €.

À l’aide des documents suivants, dire si le budget de cette famille est suffisant pour l’achat de cette piscine et les frais de fonctionnement.

Laisser toute trace de recherche, même si elle n’est pas aboutie.

Correction de l’exercice – Cylindre

Calculons d’abord le volume d’eau dans la piscine. Avec un diamètre de 260 cm (rayon 1,3 m) et une hauteur d’eau de 65 cm (0,65 m), le volume est \( V = \pi \times (1,3)^2 \times 0,65 \approx 3,45 \) m³. Le coût de l’eau est \( 3,45 \times 2,03 \approx 7,01 \) €. La consommation électrique de la pompe est de 3,42 kWh/jour, soit un coût de \( 3,42 \times 0,15 = 0,513 \) € par jour. La famille compte l’utiliser pendant 122 jours, elle devra donc payer \( 0,513 \times 122 = 62,586\) € en énergie sur la période. Le coût total initial (piscine + pompe) est de 80 €. Ainsi, le coût total sur la période est de  \( 80 + 7,01 + 62,586  \approx 174,6 \) €. Le budget de cette famille est alors suffisant pour l’achat de cette piscine et les frais de fonctionnement.

Exercice 3 (d’après le brevet des collèges, Métropole, voie professionnelle,  juin 2023) – Cylindre

Les photographies ci-dessous représentent deux pots de fleurs cylindriques.

Le grand pot est un agrandissement de coefficient 3 du petit pot. Ce qui signifie que le diamètre et la hauteur du grand pot sont 3 fois plus grands que le diamètre et la hauteur du petit pot.

Le schéma n’est pas à l’échelle.

Affirmation : « Quand on réalise un agrandissement avec un coefficient multiplicateur de 3, le volume d’un cylindre est multiplié par 27. » Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier la réponse.

Correction de l’exercice – Cylindre

Pour vérifier l’affirmation, calculons les volumes des deux pots. Le petit pot a un rayon de 5 cm et une hauteur de 15 cm, donc son volume est \( V_1 = \pi \times 5^2 \times 15 = 375\pi \) cm³. Le grand pot est un agrandissement de coefficient 3, donc son rayon est 15 cm et sa hauteur 45 cm. Son volume est \( V_2 = \pi \times 15^2 \times 45 = 10125\pi \) cm³. Le rapport des volumes est \( \frac{V_2}{V_1} = \frac{10125\pi}{375\pi} = 27 \). Ainsi, quand on réalise un agrandissement de coefficient 3, le volume est bien multiplié par 27. L’affirmation est donc exacte.

En t’exerçant régulièrement, tu gagneras en confiance pour ton examen. Bon courage et n’hésite pas à refaire ces exercices pour bien les maîtriser !

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