Voici la méthode du jour, une rubrique née du partenariat entre Au Futur et metmat.fr. Le principe est simple : une technique à connaître, expliquée clairement, avec ses étapes détaillées et un exercice corrigé pour vérifier qu’on a bien compris.
Présentation de la méthode
Comment résoudre l’équation différentielle \(y’ = ay + b\) (\(a \neq 0\)) ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En cherchant d’abord la solution particulière constante \(y_p = -b/a\) (en posant \(y’ = 0\)), puis en écrivant la solution générale \(y = Ce^{ax} + y_p\)
L’objectif est de résoudre complètement \(y’ = ay + b\) avec \(a \neq 0\), en trouvant d’abord une solution particulière constante puis la solution générale.
Pour cela, le principe est que la solution générale de \(y’ = ay + b\) est la somme de la solution particulière constante \(y_p = -\dfrac{b}{a}\) (qui annule \(y’\)) et de la solution générale \(Ce^{ax}\) de l’équation homogène \(y’ = ay\).
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Résoudre \(y’ = 2y – 6\) sur \(\mathbb{R}\).
Le détail de la méthode par étape
- Chercher une solution particulière constante \(y_p\) en posant \(y’ = 0\) dans l’équation : \(0 = ay_p + b\), d’où \(y_p = -\dfrac{b}{a}\).
- Écrire la solution générale de l’équation homogène associée \(y’ = ay\) : \(y_h = Ce^{ax}\), \(C \in \mathbb{R}\).
- Écrire la solution générale de l’équation complète : \(y(x) = Ce^{ax} + y_p = Ce^{ax} – \dfrac{b}{a}\).
- Si une condition initiale \(y(x_0) = y_0\) est donnée, substituer pour trouver \(C\), puis écrire la solution particulière et vérifier.
À toi de jouer sur cet exercice !
Résoudre \(y’ = 2y – 6\) sur \(\mathbb{R}\).
Voir la correction
Solution particulière constante : \(0 = 2y_p – 6 \Rightarrow y_p = 3\).
Solution générale de l’homogène \(y’ = 2y\) : \(y_h = Ce^{2x}\), \(C \in \mathbb{R}\).
Solution générale de l’équation complète : \(y(x) = Ce^{2x} + 3\), \(C \in \mathbb{R}\). « `graph {“type »:”cartesian”,”xRange”:[-2,1.5],”yRange”:[-2,10],”elements”:[{« kind »:”function”,”expr”:”Math.exp(2*x)+3″,”color”:”blue”},{« kind »:”line”,”slope”:0,”intercept”:3,”color”:”gray”}]} “`
Vérification : \(y'(x) = 2Ce^{2x}\) et \(2y – 6 = 2(Ce^{2x}+3)-6 = 2Ce^{2x}\) ✓. La solution générale est \(y = Ce^{2x} + 3\).
\(y(x) = Ce^{2x} + 3\), \(C \in \mathbb{R}\)
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
La régularité est la clé : reviens sur cette méthode dans quelques jours pour vérifier que tu sais encore la remobiliser sans aide.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
👉 Voir d’autres méthodes sur Primitives et équations différentielles sur metmat.fr
