Face à un exercice de maths, savoir quelle méthode utiliser fait souvent toute la différence. C’est pourquoi, en partenariat avec metmat.fr, cet article te présente une technique à maîtriser : son objectif, son principe, ses étapes, et un exemple corrigé.
Présentation de la méthode
Comment montrer qu’une équation \(f(x) = k\) a une unique solution ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En montrant que \(f\) est continue et strictement monotone sur l’intervalle, puis en appliquant le TVI dans sa version pour fonctions strictement monotones (existence et unicité)
L’objectif est de montrer qu’une équation \(f(x) = k\) admet une et une seule solution dans un intervalle \(I\).
Pour cela, le principe est que si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\), alors pour toute valeur \(k\) dans l’image de \(I\), l’équation \(f(x) = k\) admet une et une seule solution dans \(I\) ; l’unicité découle du fait qu’une fonction strictement monotone ne peut pas prendre deux fois la même valeur.
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Montrer que l’équation \(x^3 + x – 1 = 0\) admet une unique solution réelle.
Le détail de la méthode par étape
- Montrer que \(f\) est continue sur l’intervalle \(I\) (fonctions usuelles ou calcul de limite).
- Montrer que \(f\) est strictement monotone sur \(I\) (en étudiant le signe de \(f’\) si \(f\) est dérivable, ou par un argument direct).
- Appliquer le TVI : calculer \(f\) aux bornes de \(I\) (ou montrer que \(k\) est dans l’image de \(f\) sur \(I\)) pour garantir l’existence d’une solution.
- Conclure à l’unicité : une fonction strictement monotone est injective, donc elle ne peut prendre la valeur \(k\) qu’au plus une fois. L’équation \(f(x) = k\) admet ainsi une et une seule solution dans \(I\).
À toi de jouer sur cet exercice !
Montrer que l’équation \(x^3 + x – 1 = 0\) admet une unique solution réelle.
Voir la correction
Soit \(f(x) = x^3 + x – 1\). \(f\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
\(f« (x) = 3x^2 + 1\). Comme \(3x^2 \geq 0\), on a \(f »(x) \geq 1 > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) et \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), donc par le TVI, il existe \(c \in \mathbb{R}\) tel que \(f(c) = 0\).
\(f\) étant strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), elle est injective : cette solution \(c\) est unique. L’équation \(x^3 + x – 1 = 0\) admet donc une unique solution réelle.
L’équation \(x^3 + x – 1 = 0\) admet une unique solution réelle (dans \(]0,1[\)).
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
N’oublie pas de vérifier systématiquement la cohérence de ton résultat final avec l’énoncé : c’est un réflexe qui évite bien des erreurs le jour de l’épreuve.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
👉 Voir d’autres méthodes sur Continuité des fonctions d’une variable réelle sur metmat.fr
