Cette rubrique, publiée en partenariat avec metmat.fr, a un seul objectif : te faire gagner en aisance sur une méthode de maths précise. On commence par le principe général, puis on détaille chaque étape avant de l’illustrer avec un exemple corrigé.
Présentation de la méthode
Comment trouver un vecteur normal à un plan ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En cherchant un vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (résolution d’un système de deux équations)
L’objectif est de trouver un vecteur \(\vec{n}(a, b, c)\) normal à un plan lorsqu’on connaît deux vecteurs directeurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) de ce plan.
Pour cela, le principe est qu’un vecteur est normal au plan si et seulement s’il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan, ce qui donne un système de deux équations.
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Trouver un vecteur normal au plan contenant \(\vec{u}(1, 2, 0)\) et \(\vec{v}(0, 1, 1)\).
Le détail de la méthode par étape
- Identifier deux vecteurs directeurs non colinéaires \(\vec{u}(u_1, u_2, u_3)\) et \(\vec{v}(v_1, v_2, v_3)\) du plan.
- Poser \(\vec{n}(a, b, c)\) et écrire le système \(\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \end{cases}\), soit \(\begin{cases} u_1 a + u_2 b + u_3 c = 0 \\ v_1 a + v_2 b + v_3 c = 0 \end{cases}\).
- Choisir une valeur pour l’une des inconnues (par exemple \(c = 1\)) et résoudre le système pour trouver \(a\) et \(b\).
À toi de jouer sur cet exercice !
Trouver un vecteur normal au plan contenant \(\vec{u}(1, 2, 0)\) et \(\vec{v}(0, 1, 1)\).
Voir la correction
Les vecteurs directeurs sont \(\vec{u}(1, 2, 0)\) et \(\vec{v}(0, 1, 1)\), non colinéaires.
On pose \(\vec{n}(a, b, c)\) et on écrit : \(\begin{cases} a + 2b = 0 \\ b + c = 0 \end{cases}\).
On pose \(c = 1\) : de la deuxième équation \(b = -1\), puis de la première \(a = 2\). On obtient \(\vec{n}(2, -1, 1)\).
\(\vec{n}(2, -1, 1)\)
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
Cette méthode est une brique parmi d’autres : associée aux techniques voisines du même chapitre, elle te permettra de traiter des exercices de plus en plus complets.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
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