La régularité paie en maths : réviser une méthode à la fois, bien la comprendre, puis l’appliquer. C’est le principe de cette rubrique, publiée en partenariat avec metmat.fr, où l’on détaille aujourd’hui une technique à connaître, avec son exemple corrigé.
Présentation de la méthode
Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En utilisant la formule analytique \(\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\) dans un repère orthonormé
L’objectif est de calculer numériquement \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) lorsque les coordonnées des deux vecteurs sont connues dans un repère orthonormé.
Pour cela, le principe est que dans un repère orthonormé, \(\vec{u}(x_1;y_1;z_1)\) et \(\vec{v}(x_2;y_2;z_2)\) vérifient \(\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\).
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Exemple 1 — Vecteurs à coordonnées entières
Le détail de la méthode par étape
- Lire ou calculer les coordonnées \((x_1, y_1, z_1)\) de \(\vec{u}\) et \((x_2, y_2, z_2)\) de \(\vec{v}\) dans le repère orthonormé.
- Appliquer la formule : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\).
- Effectuer le calcul et donner la valeur numérique du produit scalaire.
À toi de jouer sur cet exercice !
Exemple 1 — Vecteurs à coordonnées entières
Voir la correction
On dispose de \(\vec{u}(2; -1; 3)\) et \(\vec{v}(1; 4; -2)\) dans un repère orthonormé.
On applique : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times 1 + (-1)\times 4 + 3\times(-2) = 2 – 4 – 6\).
Donc \(\vec{u}\cdot\vec{v} = -8\).
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = -8\)
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
Ce type de méthode revient régulièrement en contrôle : autant t’entraîner dessus dès maintenant plutôt que de la découvrir le jour de l’épreuve.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
👉 Voir d’autres méthodes sur Orthogonalité et distances dans l’espace sur metmat.fr
