Bienvenue dans « la méthode du jour », une rubrique publiée en partenariat avec metmat.fr pour t’aider à progresser en maths, une méthode à la fois. Aujourd’hui, on décortique une technique classique du programme : son objectif, son principe, et un exemple corrigé pour bien l’ancrer.
Présentation de la méthode
Comment étudier algébriquement les variations d’une fonction de référence ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : Pour \(f(x) = x^2\) : calculer \(f(b) – f(a) = (b-a)(b+a)\) pour \(a < b\) et étudier le signe selon que \(a, b \in ]-\infty\,;\,0]\) ou \([0\,;\,+\infty[\)
L’objectif est de montrer par le calcul que \(f(x) = x^2\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
Pour cela, le principe est qu’on factorise \(f(b) – f(a) = (b-a)(b+a)\) : le signe dépend à la fois du signe de \((b-a)\), toujours positif car \(a < b\), et du signe de \((b+a)\), qui dépend des valeurs de \(a\) et \(b\).
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Montrer que \(f(x) = x^2\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) par le calcul.
Le détail de la méthode par étape
- Prendre \(a < b\) et calculer \(f(b) – f(a) = b^2 – a^2 = (b-a)(b+a)\).
- Observer que \(b – a > 0\) puisque \(a < b\).
- Étudier le signe de \((b+a)\) : si \(a, b \in [0\,;\,+\infty[\), alors \(b+a \geq 0\), donc \(f(b) – f(a) \geq 0\) : \(f\) est croissante. Si \(a, b \in ]-\infty\,;\,0]\), alors \(b+a \leq 0\), donc \(f(b) – f(a) \leq 0\) : \(f\) est décroissante.
À toi de jouer sur cet exercice !
Montrer que \(f(x) = x^2\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) par le calcul.
Voir la correction
Soient \(0 \leq a < b\). On calcule \(f(b) – f(a) = b^2 – a^2 = (b-a)(b+a)\).
\(b – a > 0\) car \(a < b\).
\(b + a \geq 0\) car \(a \geq 0\) et \(b \geq 0\). Donc \((b-a)(b+a) \geq 0\), soit \(f(b) \geq f(a)\) : \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
\(f(x) = x^2\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
Retiens surtout le réflexe : face à un exercice de ce type, pense d’abord à identifier la situation avant de te lancer dans les calculs. C’est ce qui distingue une méthode maîtrisée d’une méthode juste entrevue.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
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