Aujourd’hui, dans le cadre du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, on te propose de revoir une méthode de maths essentielle. Objectif, principe, étapes à suivre : tout est détaillé, et un exemple corrigé vient conclure l’article pour t’exercer.
Présentation de la méthode
Comment calculer la dérivée d’une fonction faisant intervenir \(\ln\) ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En utilisant \((\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}\) (avec \(u > 0\)), formule de la dérivée d’une composée
L’objectif est d’exprimer la dérivée d’une fonction contenant \(\ln(u(x))\) en calculant \(u'(x)\) et en appliquant \((\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}\).
Pour cela, le principe est que si \(u\) est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors \(\left(\ln u(x)\right)’ = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\).
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Calculer la dérivée de \(f(x) = \ln(3x + 1)\) sur \(\left]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty\right[\).
Le détail de la méthode par étape
- Identifier la fonction \(u(x)\) à l’intérieur du \(\ln\) et vérifier que \(u(x) > 0\) sur le domaine de définition.
- Calculer \(u'(x)\) en appliquant les règles de dérivation usuelles (somme, produit, quotient, puissance, etc.).
- Appliquer la formule : \((\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}\).
- Simplifier l’expression obtenue si possible (factoriser, réduire).
À toi de jouer sur cet exercice !
Calculer la dérivée de \(f(x) = \ln(3x + 1)\) sur \(\left]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty\right[\).
Voir la correction
On identifie \(u(x) = 3x + 1\). Sur \(\left]-\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty\right[\), on a \(u(x) > 0\).
\(u'(x) = 3\).
\(f« (x) = \dfrac{u »(x)}{u(x)} = \dfrac{3}{3x + 1}\).
L’expression est déjà simplifiée : \(f'(x) = \dfrac{3}{3x+1}\).
\(f'(x) = \dfrac{3}{3x+1}\)
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
Retiens la logique d’ensemble plutôt que chaque ligne de calcul : une fois le raisonnement compris, les calculs suivent naturellement.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
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