Bienvenue dans « la méthode du jour », une rubrique publiée en partenariat avec metmat.fr pour t’aider à progresser en maths, une méthode à la fois. Aujourd’hui, on décortique une technique classique du programme : son objectif, son principe, et un exemple corrigé pour bien l’ancrer.
Présentation de la méthode
Comment calculer la limite d’une suite (convergente ou divergente) ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En appliquant le théorème des gendarmes : encadrer \(u_n\) entre deux suites ayant la même limite
L’objectif est de calculer la limite d’une suite en la prenant en étau entre deux suites convergentes vers la même valeur.
Pour cela, le principe est que si \(v_n \leq u_n \leq w_n\) pour tout \(n \geq n_0\) et si \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = \ell\), alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\).
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Calculer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n}\).
Le détail de la méthode par étape
- Identifier la limite \(\ell\) que l’on conjecture pour \(u_n\) (souvent \(0\) ou une valeur simple).
- Construire un encadrement \(v_n \leq u_n \leq w_n\) valable pour \(n \geq n_0\), en utilisant des inégalités classiques (\(|\sin n| \leq 1\), \(|\cos n| \leq 1\), inégalités sur les suites, etc.).
- Vérifier que \(v_n \to \ell\) et \(w_n \to \ell\) (même limite pour les deux suites encadrantes).
- Conclure par le théorème des gendarmes : \(u_n \to \ell\).
À toi de jouer sur cet exercice !
Calculer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n}\).
Voir la correction
On conjecture que la limite est \(0\) (le \(\sin n\) est borné, divisé par \(n \to +\infty\)).
Encadrement : \(-1 \leq \sin n \leq 1\), donc \(\dfrac{-1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}\) pour tout \(n \geq 1\).
\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{-1}{n} = 0\) et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\) : même limite.
Par le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0\).
\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sin n}{n} = 0\).
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
Retiens surtout le réflexe : face à un exercice de ce type, pense d’abord à identifier la situation avant de te lancer dans les calculs. C’est ce qui distingue une méthode maîtrisée d’une méthode juste entrevue.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
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