Etudier une suite, qu’elle soit géométrique ou arithmétique, est une question qui revient dans quasiment tous les sujets de bac. Il est donc important de bien connaître les définitions et astuces des suites numériques.
Compétences qu’il faut maîtriser :
- la définition de la convergence d’une suite
- savoir étudier le sens d’une variation d’une suite
- identifier et manipuler les suites numériques (arithmétiques et géométriques)
- savoir étudier les suites définies à l’aide d’une fonction
Les suites numériques : définitions
Une suite numérique est une application de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\) qui à tout entier n associe un réel noté \(u_n\).
La suite est notée \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\). Attention à ne pas confondre avec l’écriture du terme de rang n noté \(u_n\).
On peut définir une suite de 2 façons :
- de manière explicite, \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n=f(n)\), exemple \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n = 3n+2\)
- de manière récursive \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=f(u_n)\), exemple \(\forall n \in \mathbb{N} \text{ } u_{n+1}=u_n^2-1\)
Sens de variation d’une suite
Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite :
- la suite est croissante si et seulement si \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq u_{n+1}\)
- la suite est décroissante si et seulement si \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \leq u_{n}\)
- la suite est strictement croissante si et seulement si \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n < u_{n+1}\)
- la suite est strictement décroissante si et seulement si \(\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} < u_{n}\)
Il est à noter qu’une suite peut être croissante ou décroissante uniquement à partir d’un certain rang. Il suffit de remplacer le \(\forall n \in \mathbb{N}\) dans la définition par \(\forall n>N\).
Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Pour étudier le sens de variation d’une suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) on peut :
- comparer \(u_{n+1} \) et \(u_n\)
- étudier le signe de \(u_{n+1} – u_n\), si \(u_{n+1} – u_n \leq 0\) alors \(u_{n+1} \leq u_n\) sinon \(u_{n+1} \geq u_n\)
- si la suite est strictement positive on peut étudier le ratio \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\). La suite est croissante si ce ratio est supérieur ou égal à 1, décroissante sinon.
- si la suite est définie par \(u_n=f(n)\), la suite a les mêmes variations que la fonction \(f\) sur \([0; + \infty[\).
Suite minorée, majorée ou bornée
Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite :
- elle est majorée s’il existe un réel \(M\), tel que \(\forall n \in \mathbb{N} u_n \leq M\)
- elle est minorée s’il existe un réel \(m\), tel que \(\forall n \in \mathbb{N} m \leq u_n\)
- elle est bornée s’il existe un réel \(M\), et un réel \(m\) tel que \(\forall n \in \mathbb{N} m \leq u_n \leq M\)
Une suite n’est pas forcément majorée ou minorée. La suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(u_n=(-n)^n\) n’est ni majorée ni minorée.
Etude de la convergence
Une suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers un réel \(l\) si tout intervalle ouvert qui contient \(l\) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=l\). On dit que la suite est convergente.
On peut réecrire cette définition avec des quantificateurs mathématiques
$$
\left(\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*}\right)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n \in \mathbb{N})\left(n \geq N \Rightarrow\left|u_{n}-\ell\right|<\varepsilon\right)^{2}
$$
Une suite qui n’est pas convergente est dit divergente. Une suite divergente a pour limite plus ou moins l’infini, ou alors elle n’admet pas de limite. Par exemple la suite définie par \(u_n=(-1)^n\) n’a pas de limite.
Le théorème de la limite monotone nous donne que :
- toute suite croissante et majorée converge
- toute suite décroissante et minorée converge
- toute suite croissante et non majorée diverge vers plus l’infini
- toute suite décroissante et non minorée diverge vers moins l’infini
On peut également déterminer la limite d’une suite par comparaison, si à partir d’un certain rang
- \(u_n \geq v_n\) et que \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n= +\infty\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n= +\infty\)
- \(u_n \leq v_n\) et que \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n= -\infty\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n= -\infty\)
- \(|u_n-l| \leq v_n\) et que \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n= 0\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n= l\)
Le théorème des gendarmes permet de déterminer la limite d’une suite grâce à un encadrement. Si à partir d’un certain rang, \(v_n \leq u_n \leq w_n\) et que \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_n = l\) alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n= l\).
Qu’est-ce qu’une suite arithmétique ?
Une suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite arithmétique si elle est définie par la relation de récurrence suivante :
$$r \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}= u_n +r$$
r est appelé la raison de la suite.
Par exemple la suite définie par \(u_{n+1}=u_n+4\) et $u_0=2$ est une suite arithmétique.
On a l’équivalence entre la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite arithmétique et la suite \((u_{n+1}-u_n)\) est constante.
Si \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite arithmétique de premier terme \(u_0\), alors on peut exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) avec la formule suivante
$$\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}= u_0 +nr$$
$$\forall n,p \in \mathbb{N}, u_{n}= u_p +(n-p)r$$
Qu’est-ce qu’une suite géométrique ?
Une suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique si elle est définie par la relation de récurrence suivante :
$$\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}= u_n \times q$$
q est appelé la raison de la suite.
Par exemple la suite définie par \(u_{n+1}=3u_n\) et $u_0=5$ est une suite géométrique.
On a l’équivalence entre la suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique et la suite \((\frac{u_{n+1}}{u_n})\) est constante.
Si \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison q, alors on peut exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) avec la formule suivante
$$\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}= u_0 \times q^n $$
$$\forall n,p \in \mathbb{N}, u_{n}= u_p \times q ^{n-p}$$
Apprenez bien ces méthodes pour vous familiariser avec les suites numériques ! Entraînez vous avec des exercices et n’hésitez pas à consulter nos autres fiches d’aide pour le BAC.
Vous pouvez aussi vous entraîner sur des sujets d’annale le sujet/corrigé du bac de maths S 2018 disponible ici . Le sujet de 2019 est disponible avec son corrigé ici. Les suites numériques sont en effet un thème qu’il faut absolument maîtriser pour le baccalauréat !
A savoir : une major-prepa, une vidéo récapitulative est disponible sur les suites dîtes arithmético-géométriques !
