Aujourd’hui, nous allons travailler ensemble sur une notion fondamentale en mathématiques : l’étude des fonctions ! Tu vas devoir analyser le comportement de fonctions dans de nombreux exercices en mathématiques, particulièrement en géométrie. Il est donc indispensable de savoir étudier graphiquement une fonction. Cet article est justement là pour te permettre de maîtriser toutes les techniques pour déterminer les extremums et interpréter les variations d’une fonction. Tu pourras même t’entraîner avec un exercice corrigé en fin de cet article !
Un extremum, c’est quoi ?
Un extremum se définit comme « le maximum ou le minimum relatif d’une fonction » (définition du dictionnaire Larousse). Autrement dit, l’extremum d’une fonction désigne un point où la fonction atteint une valeur maximale ou une valeur minimale. Attention, on peut trouver un (ou plusieurs) extremums d’une fonction sur un intervalle (une partie de son domaine) ou sur l’ensemble de son domaine de définition. Selon ce contexte, le vocabulaire varie donc :
Si on est « uniquement » sur un intervalle d’une fonction, on parle alors d’extremums locaux :
- Maximum local : valeur maximale atteinte par la fonction sur un intervalle restreint
- Minimun local : valeur minimale atteinte par la fonction sur un intervalle restreint
Exemple : Prenons la fonction \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 1 \), grâce à sa représentation graphique on remarque qu’en \( x = 0 \) la fonction passe de croissante à décroissante.
Ainsi, la fonction \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 1 \) atteint un maximum local en \( x = 0 \) avec une valeur de \( f(0) = 1 \).
Les exercices de géométrie comptent pour beaucoup de points au brevet, au baccalauréat ainsi que dans le post-bac. Il est donc primordial d’avoir le bon vocabulaire et la bonne méthode pour réussir ces exercices de géométrie dans l’espace ou dans un repère.
Si on est sur l’ensemble du domaine de définition, on parle d’extremums globaux :
- Maximum global : valeur maximale atteinte par la fonction sur tout son domaine
- Minimun global : valeur minimale atteinte par la fonction sur tout son domaine
Exemple : Prenons la fonction \( f(x)=x^2−4x+3 \). Si on la dérive et qu’on cherche ensuite son tableau de variation. On remarque alors que la fonction est strictement décroissante sur \( [- \infty, 2[ \) puis croissante sur \( ]2, +\infty[ \). On aurait aussi pu observer sa représentation graphique:
Ainsi, la fonction \( f(x)=x^2−4x+3 \) atteint un minimum global en \( x = 2 \) avec une valeur de \( f(2) = – 1 \).
Tu as besoin d’un petit coup de pouce sur les racines carrées ou sur la fonction valeur absolue ? Jette un coup d’œil à nos articles sur tout ce qu’il faut savoir sur les racines carrées ou sur tout ce qu’il faut connaître sur la valeur absolue.
Qu’est-ce que les variations d’une fonction en mathématiques ?
Les variations d’une fonction désignent les évolutions d’une fonction selon la valeur de sa variable (le plus souvent x). Autrement dit, on va d’analyser les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction, sur un intervalle ou sur l’ensemble de son domaine. Selon les variations, on va utiliser des termes différents:
- La fonction est strictement décroissante si elle ne cesse de diminuer. La fonction prend des valeurs de plus en plus petites lorsque \( x \) augmente.
- La fonction est décroissante si elle baisse à mesure que \( x \) augmente, tout en pouvant être constante sur certaines valeurs. Mais elle ne peut pas augmenter !
- La fonction stagne lorsque ses valeurs restent constantes sur un intervalle donné.
- La fonction est croissante si elle augmente à mesure que \( x \) augmente, tout en pouvant être constante sur certaines valeurs. Mais elle ne peut pas baisser !
- La fonction est strictement croissante si elle ne cesse d’augmenter. La fonction prend des valeurs de plus en plus grandes lorsque \( x \) augmente.
Comment déterminer les extremums et les variations d’une fonction ?
Pour trouver les extremums d’une fonction, le plus simple est de passer par sa dérivée et son tableau de variation. Autrement dit, pour déterminer les extremums, il faut le plus souvent d’abord déterminer les variations d’une fonction.
En effet, grâce à la dérivée, on peut trouver les variations d’une fonction. On a le tableau suivant que tu peux apprendre par coeur :
| Signe de la dérivée \( f'(x) \) sur un intervalle | Variations de la fonction \( f \) sur cet intervalle |
| Si \( f'(x) > 0 \) sur cet intervalle | La fonction est strictement croissante sur cet intervalle |
| Si \( f'(x) \geq 0 \) | La fonction est croissante |
| Si \( f'(x) = 0 \) | La fonction stagne |
| Si \( f'(x) \leq 0 \) | La fonction est décroissante |
| Si \( f'(x) < 0 \) | La fonction est strictement décroissante |
Pour trouver les extremums, on cherche d’abord les points critiques, autrement dit les valeurs de x pour lesquelles \( f'(x) = 0 \). Toutes ces valeurs sont des extremums potentiels. Ensuite, à partir du tableau de variation et des variations de la fonction, on pourra déterminer précisément le ou les extremum(s).
En effet, un changement de signe de \( f'(x) \) (une évolution des variations de la fonction) autour d’un point critique montre que ce point est un extremum :
- Si \( f'(x) \) passe de négatif à positif en un point \( a \), alors \( x = a \) est un minimum local.
- Si \( f'(x) \) passe de positif à négatif en un point \( a \), alors \( x = a \) est un maximum local.
Pour les extremums globaux, on utilise aussi les tableaux de variations. Celui de la fonction \( f(x)=x^2−4x+3 \), ci dessous, nous permettait de voir que la fonction est strictement décroissante puis strictement croissante et que sa valeur minimale sur \( \mathbb{R} \) est donc – 1 qu’elle atteint en \( x = 2 \).
Attention, pour les extremums globaux, il faut toujours s’intéresser à la stricte croissance ou stricte décroissance de la fonction.
Exercice d’entraînement
Soit la fonction \( f(x)=x^3−3x+1 \). Détermine les extremums locaux et les variations de cette fonction. (Conseil : procède étape par étape 😉).
Correction de l’exercice
1ère étape : le calcul de la dérivée. On trouve alors que \( f'(x)=x^2−3 \).
2ème étape : on cherche les points critiques, autrement dit, on résout \( f'(x)= 0 \). D’où:
\( 3x^2 – 3 = 0 \
x^2 – 1 = 0 \
(x – 1)(x + 1) = 0 \
x = 1 \quad \text{et} \quad x = -1 \)
3ème étape : on calcule les valeurs des extremums potentiels. On a \( f(-1) = 3 \) et \( f(1) = – 1\)
4ème étape : le tableau de variation. Normalement tu as obtenu celui-ci :
Conclusion : Le maximum local se situe en \( x = -1 \) avec \( f(-1) = 3 \). Le minimum local se trouve en \( x = 1 \) avec \( f(1) = -1 \). La fonction \( f(x) \) est donc croissante sur \( (-\infty, -1] \), décroissante sur \( [-1, 1] \), et à nouveau croissante sur \( [1, +\infty) \).
Conclusion
Voilà, tu connais maintenant tout sur l’étude des extremums et des variations de fonctions ! Tu es désormais capable d’expliquer ce qu’est un extremum (local et global), de donner les variations d’une fonction et surtout d’interpréter ses différents résultats graphiquement et mathématiquement ! J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et lire ce super article sur les techniques de conversion des unités de longueur !
