Dans cet article, nous allons travailler ensemble sur un thème fondamental des mathématiques en seconde : la géométrie ! Tu vas connaître tout ce qu’il faut savoir sur les triangles, les quadrilatères et les cercles. Cet article est là pour te permettre de maîtriser toutes les propriétés et grands théorèmes de ces figures géométriques et de devenir un as de la géométrie !
Toutes les figures géométriques représentées dans cet article ont été générées avec l’application GeoGebra.
Les triangles : des figures à trois côtés
Définition du triangle
Un triangle est une figure géométrique formée de trois côtés et de trois angles. Le périmètre d’un triangle est la somme de la longueur de ses trois côtés et l’aire par :
\( \displaystyle \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \)
Mais bien qu’il s’agisse d’une figure géométrique simple, il existe de nombreux types de triangles différents avec des propriétés bien spécifiques et des théorèmes à connaître absolument. Suis-moi, je vais te les présenter !
Le triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle constitué de deux côtés égaux et deux angles égaux.
Dans l’exemple ci-dessous, les côtés F et G (en rouge) sont égaux, et les angles \( \widehat{BAC} \) et \( \widehat{ACB} \) sont eux aussi égaux.
Le triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont ses trois côtés sont égaux et dont ses trois angles sont égaux.
Dans l’exemple ci-dessous, les trois côtés F, G et H (en rouge) sont égaux, et les angles \( \widehat{BAC} \), \( \widehat{ACB} \) et \( \widehat{ABC} \) sont eux aussi égaux.
Le triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90°. Le côté opposé à cet angle droit est appelé hypoténuse, c’est aussi le plus long côté du triangle. Dernière propriété, les deux autres angles du triangle sont toujours inférieurs à 90°. Le triangle rectangle est utile dans de nombreux théorèmes en particulier dans le théorème de Pythagore.
Dans l’exemple ci-dessous, l’angle \( \widehat{BAC} \) noté \( a \) est un angle droit, les deux autres \( \widehat{ACB} \) et \( \widehat{ABC} \) sont bien inférieurs à 90° et le côté G est l’hypoténuse.
Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore permet le plus souvent de calculer la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle, mais il peut aussi nous permettre de connaître les autres longueurs d’un triangle rectangle. Il stipule que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés du triangle. Ainsi en reprenant l’exemple ci-dessus, on a :
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)
Ce théorème est fondamental et te servira tout au long de tes années de lycée (et même plus tard).
Les quadrilatères : quatre côtés, mais une multitude de possibilités
Définition du quadrilatère
Un quadrilatère est une figure géométrique formée de quatre côtés et de quatre angles. Il existe une multitude de quadrilatères différents avec des caractéristiques spécifiques.
Le carré
Un carré est un quadrilatère constitué de quatre côtés égaux et dont les quatre angles sont droits.
Dans l’exemple ci-dessous, les quatre côtés (en vert) sont égaux, et les angles sont bien tous droits. Le périmètre d’un carré est donné par \( 4 \times côté \) et l’aire par \( côté \times côté \).
Attention, un carré est aussi un losange et un rectangle. De la même manière, tout quadrilatère qui est à la fois un losange et un rectangle est donc un carré.
Le rectangle
Un rectangle est un quadrilatère constitué de quatre angles droits, et dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Les diagonales d’un rectangle sont de même longueur et se coupent en leur milieu. Les quatre sommets d’un rectangle sont à équidistance de ce milieu (souvent noté O). Il existe donc un cercle de centre O passant par ces quatre sommets que l’on nomme: le cercle circonscrit d’un rectangle.
Le périmètre d’un rectangle est donné par \( 4 \times côté \) et l’aire par \( côté \times côté \) avec deux côtés consécutifs.
Dans l’exemple ci-dessous, les côtés opposés (en vert et en rouge) sont parallèles et de même longueur, et les quatre angles sont bien tous droits.
Et tu peux retrouver ci-dessous un exemple d’un cercle circonscrit de centre O.
Le losange
Un losange est un quadrilatère constitué exactement de quatre côtés de même longueur. Les diagonales de ce quadrilatère sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. Les angles opposés d’un losange sont deux à deux égaux.
On peut aussi dire qu’un losange est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires ou bien dont au moins deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur.
Dans l’exemple ci-dessous, les quatre côtés (en rouge) sont égaux, et les diagonales sont bien perpendiculaires comme le prouve la mesure de l’angle \( \widehat{BJC} \).
Le parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu. Mais un quadrilatère peut aussi être un parallélogramme si ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ou bien deux à deux égaux voire même si les deux conditions précédentes sont remplies. De plus, les angles opposés d’un parallélogramme sont égaux.
L‘aire d’un parallélogramme est donnée par \( text{Base} \times \text{Hauteur} \)
Dans l’exemple ci-dessous, les diagonales (en rouge et bleu) se coupent bien en leur milieu : il s’agit donc bien d’un parallélogramme.
Le trapèze
Un trapèze est un quadrilatère dont exactement deux de ses côtés opposés sont parallèles. L’aire d’un trapèze est donnée par la formule suivante:
\( \frac{1}{2} \times \text{hauteur} \times (b + B) \) qui correspond à la moitié du produit de la hauteur par la somme des deux bases du trapèze.
Les cercles et leurs vocabulaires
Définition
Un cercle est une figure géométrique avec une courbe fermée dont les points sont situés à équidistance de son centre.
Le périmètre d’un cercle est donné par la formule \( 2\pi r \), où \( r \) est le rayon.
L‘aire d’un cercle est donnée par la formule \( \pi r^2 \).
Un cercle spécifique au programme de seconde est le cercle circonscrit, mais tu sais maintenant déjà parfaitement de quoi il s’agit !
Vocabulaire essentiel pour le cercle
Tu vas probablement retrouver des termes suivants dans tes exercices autour des cercles alors commence à les mémoriser :
- Le rayon d’un cercle désigne le segment reliant le centre à un point du cercle, quel qu’il soit.
- Le diamètre est un segment qui relie deux points du cercle et passe par le centre. Il correspond aussi à deux fois le rayon.
- La corde est un segment reliant deux points du cercle sans passer par le centre.
- La tangente est une droite qui touche le cercle en un seul point.
Conclusion
Voilà, tu sais maintenant tout sur les bases de la géométrie ! Tu es désormais capable de donner les définitions des triangles, quadrilatères et cercles au programme de seconde ainsi que les propriétés. J’espère que cet article t’a plu. Tu peux retrouver ici toutes nos autres ressources mathématiques et continuer à t’améliorer en géométrie avec cet article (niveau première/terminale).
