Les équations du second degré apparaissent beaucoup plus souvent que tu ne peux l’imaginer : dans les problèmes de géométrie, en physique pour modéliser des trajectoires, en économie pour étudier des situations de maximum ou de minimum, mais aussi en informatique ou dans des domaines plus inattendus comme le design graphique.
En terminale, il ne suffit pas de savoir les résoudre mécaniquement. Il faut aussi comprendre ce qu’elles représentent, interpréter leurs solutions et faire le lien avec les graphiques. Cet article te guide pas à pas : définition, méthodes de résolution, interprétation graphique et applications concrètes. Tu pourras enfin t’entraîner grâce à deux exercices corrigés en détail.
Comprendre ce qu’est une équation du second degré
Une équation du second degré est une équation polynomiale qui s’écrit sous la forme :
\( ax^2 + bx + c = 0 \) où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels, avec \(a \neq 0\)
Le terme \(a^2\) rend l’équation fondamentalement différente d’une équation du premier degré car il introduit une courbure : on ne parle plus de droites, mais de paraboles.
Ainsi, résoudre une équation du second degré, c’est chercher les valeurs de \(x\) qui annulent le polynôme, autrement dit les abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses.
Le discriminant : une méthode incontournable
La méthode la plus connue repose sur l’utilisation du discriminant, noté \( \Delta\), et défini par : \( \Delta = b^2 – 4ac \).
Le discriminant permet de déterminer la nature et le nombre de solutions de l’équation :
- Si \( \Delta > 0 \) l’équation admet deux solutions réelles distinctes : \( x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\), \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
- Si \(\Delta = 0\), l’équation admet une unique solution double : \(x = \frac{-b}{2a}\)
- Si \(\Delta < 0\), l’équation n’a pas de solution réelle (les solutions existent mais elles sont complexes, ce qui sort du programme de Terminale général classique).
Cette méthode est universelle : elle fonctionne quel que soit \(b\) ou \(c\), tant que \(a \neq 0\).
Autres méthodes de résolution
Même si la méthode du discriminant est la plus répandue, d’autres techniques existent et renforcent ta compréhension.
Mise en facteur
Lorsque le polynôme présente des facteurs simples, on peut factoriser directement. Par exemple :
\(x^2 – x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0\).
On obtient immédiatement \(x = 0\) ou \(x = 1\).
Forme canonique
Il est parfois plus simple de transformer l’équation en utilisant la forme canonique :
\(ax^2 + bx + c = a(x – \alpha)^2 + \beta\) avec \(\alpha = \frac{-b}{2a}\), \(\beta = c – \frac{b^2}{4a}\)
La résolution de l’équation passe par l’égalité : \(a(x – \alpha)^2 + \beta = 0\)
En fonction du signe de \(\beta / a \) on détermine le nombre de solutions.
C’est une approche intimement liée à l’étude des variations des fonctions quadratiques et à la représentation graphique.
Cas particuliers
- Équations incomplètes :
- Si \(b = 0\), l’équation s’écrit \( ax^2 + c = 0\), donc \(x^2 = \frac{- c}{a}
Les solutions existent uniquement si \(-c/a \geq 0\).
- Si \(c = 0\), on obtient \(ax^2 + bx = 0\), soit \(x(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0\) ou \(x = \frac{-b}{a}\)
- Équations réduites : lorsque \(a = 1\), les calculs sont plus simples car la formule du discriminant se réduit à : \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}\)
Lien avec la représentation graphique
Résoudre une équation du second degré, c’est aussi comprendre où se situe la parabole associée à la fonction : \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
- Les racines de l’équation correspondent aux abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.
- Le signe de \(a\) donne l’orientation de la parabole : si \(a > 0\), elle « s’ouvre » vers le haut ; si \(a < 0\), elle s’ouvre vers le bas.
- Le sommet de la parabole se situe en \((\alpha, \beta)\) avec \(\alpha = \frac{- b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\).
Cette interprétation graphique est essentielle : elle relie l’algèbre aux courbes étudiées en géométrie analytique.
Applications des équations du second degré
Tu pourrais croire que résoudre une équation du second degré est un simple exercice scolaire. En réalité, elles apparaissent partout :
- Physique : la trajectoire d’un projectile est une parabole, donc son équation est quadratique.
- Économie : calculer les quantités qui maximisent un bénéfice ou minimisent un coût revient souvent à résoudre une équation du second degré.
- Architecture et ingénierie : les arcs paraboliques utilisés dans certains ponts reposent sur ces fonctions.
- Informatique : dans le traitement d’images, certains algorithmes utilisent des approximations quadratiques pour réduire les erreurs de calcul.
Autrement dit, savoir les manier, c’est se doter d’un outil indispensable pour comprendre le monde réel.
Exercices
Exercice 1 :
Résous l’équation suivante : \(2x^2 – 3x – 2 = 0\)
Exercice 2 :
Résous l’équation suivante : \(x^2 – 4x + 4 = 0\)
Correction
Exercice 1 :
On calcule le discriminant : \(\Delta = (-3)^2 – 4 \times 2 \times (-2) = 25\)
La racine carrée est \(\sqrt{25} = 5\). On en déduit : \( x_1 = \frac{3 – 5}{4} = \frac{-1}{2}\) et \(x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2\)
Exercice 2 :
Ici, l’équation est factorisable : \(x^2 – 4x + 4 = (x – 2)^2\).
On a donc une unique solution double : \(x = 2\).
Graphiquement, cela correspond à une parabole tangente à l’axe des abscisses en \(x = 2\).
