Inégalité de Bernoulli : démonstration complète par récurrence (ROC maths bac)

Comprendre et savoir démontrer certaines inégalités classiques est indispensable pour réussir le bac de mathématiques. Parmi elles, l’inégalité de Bernoulli occupe une place importante. Elle permet de comparer simplement une expression linéaire à une puissance, et sert souvent de base pour étudier la croissance des suites ou établir des bornes.

Dans cet article, nous te proposons une démonstration claire et détaillée de l’inégalité de Bernoulli, expliquée pas à pas par récurrence. Cette démonstration fait partie des ROC (Restitutions Organisées de Connaissances) que tout élève de terminale doit maîtriser. Nous t’expliquerons également l’intérêt pratique de ce résultat et les erreurs les plus fréquentes à éviter pour réussir l’exercice le jour du bac.

Pour consulter les autres démonstrations exigibles, tu peux te référer à cet article.

Qu’est-ce que l’inégalité de Bernoulli ?

L’inégalité de Bernoulli est un résultat fondamental en mathématiques qui établit une comparaison entre une expression linéaire et une puissance.

Elle affirme que, pour tout nombre réel positif xx et tout entier naturel nn :1+nx≤(1+x)n1+nx≤(1+x)n

Autrement dit, la croissance de la fonction (1+x)n(1+x)n est toujours supérieure ou égale à celle de l’expression 1+nx1+nx.

Cette inégalité est particulièrement utile pour étudier les suites et comparer la croissance entre suites arithmétiques et géométriques.

Au lycée, elle fait partie des démonstrations exigibles pour le bac de mathématiques. On l’aborde souvent via la preuve par récurrence, méthode privilégiée pour les ROC (restitutions organisées de connaissances).

Énoncé officiel de l’inégalité de Bernoulli

Soit \(x \in \mathbb R^*_+\)

Démontrer que : \(\forall n \in \mathbb N, 1+nx \le (1+x)^n\).

Aide à la résolution – préliminaire

Il est intéressant de connaître le résultat suivant :

Lorsque l’on a \(0 \le B\) et \(A+B\), on peut minorer \(A+B\) par \(A\). Pour cela, il suffit de partir de
\(0 \le B\), puis d’additionner membre à membre de cette inégalité le terme \(A\) :
\(A \le A+B\)

Démonstration de l’inégalité de Bernoulli par récurrence (étapes détaillées)

Montrons par récurrence que : \(\forall n \in \mathbb N, 1+nx \le (1+x)^n\)

Pour \(n=0\)

On a :

\(1+0 \times x = 1 \)

et

\((1+x)^0=1\)

donc on en déduit que :

\(1+0\times x \le (1+x)^0\)

Ainsi, la propriété est vérifiée pour \(n=0\)

Soit \(n \in \mathbb N\). Supposons que \(1+nx \le (1+x)^n\).

D’après l’hypothèse de récurrence, on a :

\(1+nx \le (1+x)^n\), d’où en multipliant par \((1+x) \ge 0\) :

\((1+nx)(1+x) \le (1+x)^n(1+x)\), d’où :

\(1+x+nx+nx^2 \le (1+x)^{n+1}\), i.e.

\(1+(n+1)x+nx^2 \le (1+x)^{n+1}\), or comme \(nx^2 \ge 0\), on peut écrire :

\(1+(n+1)x \le (1+x)^{n+1}\)

Donc, la propriété est vérifiée au rang \(n+1\)

Ainsi, par principe de récurrence : \(\fbox{\(\forall n \in \mathbb N, 1+nx \le (1+x)^n\)}\)

Applications de l’inégalité de Bernoulli en mathématiques (suite géométrique, limites, comparaisons…)

L’inégalité de Bernoulli n’est pas qu’un simple exercice de démonstration : elle est un outil puissant pour comparer des suites et analyser leur croissance. Voici les principales situations où elle intervient au lycée et dans les exercices de bac :

• Étude des suites géométriques : l’inégalité permet de montrer que, pour tout réel x>0x>0 et tout entier nn, on a 1+nx≤(1+x)n1+nx≤(1+x)n. Autrement dit, une suite géométrique de raison 1+x1+x croît au moins aussi vite qu’une suite arithmétique de même premier terme. C’est un point clé pour comprendre la croissance exponentielle.
• Démonstration de limites : grâce à Bernoulli, on peut prouver que (1+x)n(1+x)n tend vers +∞+∞ lorsque x>0x>0. Cela sert notamment à établir la limite des suites géométriques qnqn lorsque q>1q>1.
• Comparaison d’expressions : l’inégalité fournit un outil simple pour majorer ou minorer certaines expressions, par exemple lorsqu’on souhaite montrer que (1+x)n(1+x)n est toujours supérieur à 1+nx1+nx. Elle apparaît souvent dans les sujets où l’on demande de justifier qu’une fonction ou une suite croît plus vite qu’une autre.

💡 Astuce : retenir que l’inégalité de Bernoulli sert à prouver qu’une croissance exponentielle dépasse toujours une croissance linéaire, ce qui est essentiel pour comprendre les phénomènes d’accélération (population, intérêts composés, etc.).

Intérêt de l’inégalité de Bernoulli

Cette inégalité permet d’affirmer qu’une suite géométrique de raison \(1 + x\) et de premier terme \(u_{n_0}\) croît plus vite qu’une suite arithmétique de raison \(u_{n_0} \times t\). Cependant, en pratique, pour de petites valeurs de \(x\) et des valeurs raisonnables de \(n\), les deux suites sont quasiment confondues.

Bonus (figure au programme) démonstration de la limite de la suite géométrique \((q^n)\) avec \(q > 1\) à l’aide de l’inégalité de Bernoulli

Soit \(q \ge 1\), \(x \in \mathbb R^*_+\).

Comme \(x > 0\), on a :

\(x+1 > 1\), d’où, comme \(q > 1\), on peut poser : \(q=x+1\).

Donc d’après l’inégalité de Bernoulli, on peut écrire :

\(1+nx \le q^n\)

D’où, comme \(\lim \limits_{n \to +\infty}(1+nx)=+\infty\), d’après le théorème de comparaison (ou le théorème de prolongement des inégalités), on en déduit que :

\(\lim \limits_{n \to +\infty}q^n=+\infty\).

Ainsi :

\[\fbox{\(\forall q >1, \lim \limits_{n \to +\infty}q^n=+\infty\)}\]

Les écueils à éviter dans cette démonstration

• Pour l’inégalité de Bernoulli, ne surtout pas oublier comment faire la minoration, c’est à dire grâce au fait que : \(nx^2 \ge 0\).
• Pour la limite de la suite géométrique \((q^n)\), ne surtout pas oublier de préciser que \(x+1 > 1\) afin de poser \(q=x+1\) car sinon, ça n’est tout simplement pas possible ! (en effet, on a fixé \(q \ge 1\) au préalable. Son ensemble de définition est donc \(]1, +\infty[\)).

FAQ : l’inégalité de Bernoulli