Dans cet article, on va voir l’utilisation d’un théorème très pratique pour le calcul de limite lorsque l’on connait des inégalités de fonctions au préalable : c’est le théorème de comparaison (on l’appelle parfois théorème dit de « prolongement des inégalités »).
Il fonctionne de façon assez logique : si on a par exemple \( \forall x \in \mathbb R, f(x) \le g(x)\), et \(\lim \limits_{x \to +\infty}(f(x))=+\infty\), alors comme \(f\) est plus petit que \(g\), et comme la limite de \(f\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), on imagine bien que la fonction \(f\) va « entraîner » la fonction \(g\) avec elle en \(+\infty\), donc on en déduit ainsi la limite de \(g\) en \(+\infty\) : \(\lim \limits_{x \to +\infty}(g(x))=+\infty\)
Signe de la limite
Soit \(x_0\) un nombre réel ou \(+\infty\) ou \(-\infty\) ;
Si une fonction est positive au voisinage de \(x_0\), alors sa limite quand \(x\) tend vers \(x_0\) est encore positive.
Conséquence
Si, au voisinage de \(x_0\), on a \(f(x) \le g(x)\), alors si les limites existent et sont finies :
\(\lim \limits_{x \to x_0}f(x) \le \lim \limits_{x \to x_0}g(x)\).
Démonstration :
On utilise ce qui précède avec la fonction \(f(x)-g(x)\) qui est positive.
Donc \(\lim \limits_{x \to x_0}(g(x)-f(x)) \ge 0 \Rightarrow \lim \limits_{x \to x_0}g(x) \ge \lim \limits_{x \to x_0}f(x)\).
Remarque
Si \(g(x)=k\) (où \(k\) est une constante), alors :
\(f(x) \le k \Rightarrow \lim \limits_{x \to x_0}f(x) \le k\)
Cas particulier :
Si |\(f(x)-l\)|\(\:\le h(x)\) et si \(\lim \limits_{x \to x_0}h(x)=0\), alors \(\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=l\).
(C’est le théorème d’encadrement ou « théorème des gendarmes » écrit avec des valeurs absolues)
Théorème des gendarmes (ou de l’encadrement)
Trois fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) vérifient \(f(x) \le g(x) \le h(x)\) au voisinage de \(x_0\).
Si \(\lim \limits_{x \to x_0}f(x)= \lim \limits_{x \to x_0}h(x)=l\) (\(l\in\mathbb{R}\)), alors \(\lim \limits_{x \to x_0}g(x)=l\).
Remarque
Les fonctions \(f\) et \(h\) sont les deux gendarmes qui contraignent \(g\) à adopter le même comportement qu’elles.
Théorème de comparaison
Soit deux fonctions \(f\) et \(g\) qui vérifient, au voisinage de \(x_0\), \(f(x) \le g(x)\) :
- Si \(\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=+\infty\), alors \(\lim \limits_{x \to x_0}g(x)=+\infty\)
\(\:\)
- Inversement, si \(\lim \limits_{x \to x_0}g(x)=-\infty\), alors \(\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=-\infty\)
