D’où vient le bruit caractéristique lors du passage d’une voiture de course ? Quel est le rapport entre un radar de vitesse et l’éloignement des galaxies ? On va voir tout cela dans cette fiche sur l’effet Doppler.
L’effet Doppler, c’est une caractéristique des phénomènes ondulatoires, donc si tu n’es pas encore au point sur les ondes, fonce lire la fiche dédiée !
Définition et principe de l’effet Doppler
L’effet Doppler c’est le phénomène qui caractérise le changement de fréquence de l’onde captée par un récepteur lorsque l’émetteur et le récepteur sont en mouvement relatif.
Donc, si quelque chose émet une onde en se déplaçant par rapport à moi, je vais recevoir une onde d’une fréquence différente de celle émise. Il y a alors deux cas :
Si l’émetteur s’éloigne du récepteur, la fréquence de l’onde reçue diminue par rapport à la fréquence émise.
Si l’émetteur se rapproche du récepteur, la fréquence de l’onde reçue augmente par rapport à la fréquence émise.
C’est pour cela que quand une voiture de course se rapproche de vous, vous entendez un son à haute fréquence. Lorsqu’elle est passée et s’éloigne de vous, le son que vous percevez est à une fréquence plus basse.
Exemple schématique :
Effet Doppler – Voiture en mouvement
Sur ce schéma, on a représenté une voiture qui émet des bips réguliers. Chaque bip va, au fur et à mesure du temps, se propager dans l’espace comme toute onde sonore. Mais en même temps que le bip se propage, la voiture avance. On voit alors que devant la voiture en mouvement, les fronts d’onde sont plus serrés, et derrière la voiture, les fronts d’onde sont moins serrés.
Donc, si un observateur est devant la voiture, la voiture se rapproche: les fronts d’onde sont serrés. Par conséquent, la fréquence des bips reçus est plus grande que la fréquence émise par la voiture.
Par contre, si un observateur est derrière la voiture, la voiture s’éloigne: les fronts d’onde sont desserrés. Alors, la fréquence des bips reçus est plus petite que celle émise par la voiture.
Formules de l’effet Doppler
Ce qui est intéressant maintenant, c’est d’être capable de se servir de l’effet Doppler pour calculer des vitesses et des fréquences.
1. L’émetteur et le récepteur se déplacent sur une même ligne (une dimension)
Rapprochement
On va voir d’abord le cas où l’émetteur se rapproche frontalement du récepteur. Dans l’idée, il lui fonce directement dessus.
Dans ce cas, la fréquence reçue est plus grande que la fréquence émise et on a la relation :
\( f_{R} = f_{E}(1+\frac{v}{v_{onde}-v}) \),
ce qui revient à \( \Delta f = f_{R}-f_{E} = f_{E}(\frac{v}{v_{onde}-v}) \)
\( \Delta f > 0\): la fréquence reçue augmente.
Les fréquences sont en Hertz (Hz, ou \( s^{-1}\)), les vitesses en m/s, les indices E et R sont pour l’émetteur et le récepteur respectivement. \( v\) est la vitesse relative entre émetteur et récepteur, \( v_{onde}\) est la célérité de l’onde émise.
Seulement si \( v_{onde} >>> v\) (par exemple cas des ondes électromagnétiques) on peut même écrire \( f_{R} = f_{E}(1+\frac{v}{v_{onde}}) \)
Démonstration
Pour démontrer la relation \( f_{R} = f_{E}(1+\frac{v}{v_{onde}-v}) \), imaginons une voiture qui se dirige vers un récepteur. Elle émet régulièrement des coups de klaxon avec une fréquence \( f_{E}\) (donc période \( T_{E} = 1/f_{E}\))
Démonstration
La première onde émise arrive avec un certain retard \( t_{1} = \frac{d}{v_{onde}}\),
L’onde suivante arrive avec un retard différent, qui a deux causes. D’une part, l’onde est émise plus tard, après un temps \( T_{E}\). D’autre part, la distance à parcourir a changé puisque l’émetteur est plus proche du récepteur (délai de \( \frac{d-T_{E}.v}{v_{onde}}\))
Donc \( t_{2} = T_{E}+\frac{d-T_{E}.v}{v_{onde}}\)
On a alors \( T_{R} = t_{2}-t_{1} = T_{E} – \frac{T_{E}.v}{v_{onde}} = T_{E}(1 – \frac{v}{v_{onde}})\)
En inversant, \( f_{R} = f_{E}(\frac{v_{onde}}{v_{onde}-v}) = f_{E}(1 + \frac{v}{v_{onde}-v})\), on retrouve la relation attendue.
Eloignement
De la même manière, si l’émetteur s’éloigne du récepteur, on a :
\( f_{R} = f_{E}(1-\frac{v}{v_{onde}+v}) \),
ce qui revient à \( \Delta f = f_{R}-f_{E} = -f_{E}(\frac{v}{v_{onde}+v}) \)
\( \Delta f < 0\): la fréquence reçue diminue.
Seulement si \( v_{onde} >>> v\) on peut même écrire \( f_{R} = f_{E}(1-\frac{v}{v_{onde}}) \)
Rapprochement puis éloignement
Pour un émetteur qui se rapproche puis s’éloigne, on a dans tous les cas:
\( \frac{f_{approche}-f_{eloignement}}{f_{approche}+f_{eloignement}}=\frac{v}{v_{onde}} \),
avec \( f_{approche}\) la fréquence reçue au moment du rapprochement de l’émetteur et du récepteur, et \( f_{eloignement}\) la fréquence reçue lors de la phase d’éloignement de l’émetteur et du récepteur.
Exemples
En mesurant les fréquences que l’on entend quand une ambulance passe, d’abord quand elle se rapproche, puis quand elle s’éloigne, on est capable d’en déduire sa vitesse !
Imaginons un chanteur dans un train allant à 200km/h, qui doit s’échauffer la voix en chantant un La à 440Hz. Un observateur près des rails qui voit le train s’approcher peut entendre un son. Calculons-en la fréquence reçue:
L’émetteur (chanteur) se rapproche du récepteur (observateur), on peut donc appliquer \( f_{R} = f_{E}(1+\frac{v}{v_{onde}-v})\), avec \( f_{E} = 440\) Hz, \( v = 200\) km/h soit 200/3.6 = 56 m/s, puis avec \( v_{onde} = 340\) m/s.
On obtient alors \( f_{R} = 440.(1+\frac{56}{340-56}) = 527\) Hz. C’est plus haut que 440Hz, ce qui et logique car émetteur et récepteur se rapprochent. La note chantée est un La3, la note entendue par l’observateur est un Do4 !
2. L’émetteur se déplace mais le récepteur n’est pas directement sur le chemin
Dans le cas où l’émetteur se déplace mais pas directement vers le récepteur, il y a aussi effet Doppler. Mais dans ce cas, les formules sont plus complexes. En effet, il faut décomposer le mouvement de l’émetteur en deux: un mouvement radial vers le récepteur, qui lui sera sujet à l’effet Doppler, et un mouvement orthogonal qui restera inchangé.
C’est par exemple le cas des radars de vitesse. Placés avec un certain angle de visée \( \theta\) par rapport à la route, ils émettent des ondes électromagnétiques de fréquence \( f\) vers les véhicules. Les véhicules sont en mouvement, et vont recevoir l’onde à une certaine fréquence \( f\)’ puis la renvoyer vers le radar. Le radar, en mouvement relatif par rapport au véhicule, récupérera l’onde, à la fréquence \( f\) ‘ ‘ = \( f+\Delta f\). Il y a alors eu un double effet Doppler (lorsque l’onde va vers la voiture, puis revient vers le radar)
On a alors la formule \( \Delta f = 2\frac{f.v.cos(\theta)}{c}\), ici v est la vitesse de la voiture, et c la vitesse de la lumière (célérité de l’onde électromagnétique du radar).
On remarque que si on prend \( \theta = 0\), on se retrouve dans le cas de l’émetteur allant vers le récepteur (la voiture foncerait sur le radar lui-même), où \( \Delta f = \frac{f.v}{c}\). Afin de trouver la formule complète de fonctionnement du radar, il faut donc appliquer deux fois cette formule.
Applications de l’effet Doppler
Les radars de vitesse sont une application directe de l’effet Doppler.
En santé, on peut réaliser des Doppler sanguins, où la vitesse d’écoulement du sang est mesurée à partir des fréquences émises puis reçues par la sonde d’écographie. Elle agit là comme un petit radar. Cela permet d’identifier les problèmes d’écoulements sanguins.
L’effet Doppler est caractéristique des ondes de tout type. Une voiture qui klaxonne produira des ondes sonores, impactées par l’effet Doppler, et le radar se sert d’ondes électromagnétiques pour prendre ses mesures.
En particulier, la lumière est sujette à l’effet Doppler. Donc, si un objet s’éloigne assez vite de nous, la fréquence de l’onde lumineuse que l’on reçoit de cet objet diminue. Si la fréquence diminue, comme \( \lambda = \frac{c}{f}\), la longueur d’onde augmente. C’est le redshift, ou décalage vers le rouge: un objet qui s’éloigne assez vite fait que l’effet Doppler s’applique sur ses ondes électromagnétiques. Alors, sa couleur se décale vers les hautes longueurs d’onde, le rouge.
A l’inverse, si un objet se rapproche assez vite, sa longueur d’onde est décalée vers les basses longueurs d’ondes, le bleu: c’est le blueshift.
En astrophysique, il a été montré que l’Univers est en expansion accélérée: l’Univers s’étend de plus en plus vite, et les objets s’éloignent les uns des autres. En particulier, plus un objet est loin, plus il s’éloigne vite. (La formule d’Hubble-Lemaître établit que la vitesse d’éloignement v d’un objet est proportionnelle à la distance d à cet objet, \( v = H_{0}.d\), avec \( H_{0}\) la constante d’Hubble.
En regardant les spectres de lumière de galaxies lointaines, on voit que les raies d’absorption d’éléments chimiques connus ont des longueurs d’ondes plus élevées que si l’on regarde sur Terre. C’est le redshift, qui montre que les galaxies s’éloignent les unes des autres.
A retenir sur l’effet Doppler
L’effet Doppler, c’est le changement de fréquence reçue par un récepteur quand émetteur et récepteur sont en mouvement relatif
Quand l’émetteur s’approche, la fréquence augmente
Quand l’émetteur s’éloigne, la fréquence diminue
Si, l’émetteur se rapproche directement vers le récepteur, \( f_{R} = f_{E}(1+\frac{v}{v_{onde}-v})\)
Si l’émetteur s’éloigne directement du récepteur,\( f_{R} = f_{E}(1-\frac{v}{v_{onde}+v})\)
Dans le cas où l’émetteur ne va pas directement vers le récepteur, les formules se complexifient
L’effet Doppler est un phénomène ondulatoire qui s’applique donc à tout type d’ondes, mécaniques comme électromagnétiques (son, lumière, etc.)
L’effet Doppler a de multiples applications, en astrophysique, il explique le redshift: quand un objet visible s’éloigne, sa longueur d’onde est décalée vers le rouge (elle augmente car la fréquence de sa lumière diminue)
Voilà, c’est tout ce qu’il y avait à savoir sur l’effet Doppler ! N’hésite pas à lire nos autres fiches, par exemple si tu veux revoir le cours sur les ondes sonores, ou sur le mouvement des corps avec notre kit sur les bases de la mécanique !
