Tout le monde râle toujours sur la télé-réalité, ça rend bête, les candidats jouent les idiots et j’en passe. Je ne vais pas essayer de sauver la télé-réalité. Je vais simplement utiliser une émission pour essayer de vous faire réviser un peu certaines notions bien sympathiques liées au dénombrement ! Vous me direz c’est quoi le dénombrement ? Eh bien un peu d’étymologie devrait vous mettre sur la piste. Pour faire simple, le dénombrement consiste à compter le nombre de situations qui correspondent à des critères. C’est dénombrer le nombre de cas qui nous intéresse. Tu l’a bien compris, tu vas en effet apprendre ici à réviser les maths avec… la télé-réalité !
Tu dois être en train de te demander quelle émission je vais choisir pour illustrer mes propos. Allez je ne fais pas durer le suspens plus longtemps.
Tu l’auras donc compris, on va s’intéresser au chef d’oeuvre qu’est l’émission 10 couples parfaits. Si tu n’as jamais vu cette émission de télé-réalité, le principe est très simple : 10 mecs, 10 filles ; ils ont tous répondu à un questionnaire. La science a ensuite prétendument formé 10 couples parfaits. Seulement voilà, eux ne savent pas quels sont ces couples et doivent les deviner ! Bien entendu, ça donne des histoires et des disputes à n’en plus en finir et des stratégies quelque peu douteuses !
Combien de configurations possibles dans cette télé-réalité ?
Bon commençons par un point qui m’énerve un peu. Si tu as déjà écouté le générique des premières saisons (oui parce qu’en plus ils ont réalisé plusieurs saisons), on y entend “10 garçons, 10 filles et des centaines de possibilités”. Si tu as déjà suivi un cours de dénombrement tu devrais bondir au plafond.
Combien de configurations peut-on faire avec 10 filles et 10 mecs ? Attention à bien comprendre la question. Il ne suffit pas de former un couple, il faut former tous les couples ! Il faut que les 10 couples soient les bons, et c’est là que réside toute la difficulté!
Cela revient à trouver le nombre de bijections entre 2 ensembles à 10 éléments. Pourquoi une bijection ? Et bien parce que chaque garçon doit avoir une et unique partenaire (les couples sont hétérosexuels dans l’émission). Et là vous pouvez vous dire, “c’est gentil mais tu as juste reformulé la question, je ne sais toujours pas combien il y en a”.
Tu as une idée de comment répondre à cette question ? Commence par modéliser le problème. On sépare les individus en 2 groupes, 10 garçons à gauche et 10 filles à droite. Imaginons que ce soit les garçons qui choisissent les filles.
Le premier garçon va choisir une fille. Combien a-t-il de possibilités? 10.
Puis c’est au tour du second garçon de choisir. Combien a-t-il de possibilités? 9 car il ne peut pas choisir la fille qui a été choisie par le premier garçon.
Vient ensuite le tour du troisième garçon. Il a lui 8 possibilités, car il ne peut pas choisir une fille qui a déjà été choisie par un des 2 premiers garçons.
Donc combien y a-t-il de configurations possibles ? Faut-il additionner ou multiplier les chiffres? Il faut bien entendu les multiplier !
Et là tu devrais commencer à te dire que dans le générique ils sont gentils avec leur “centaines de possibilités”.
En effet \(1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10 = 10! = 3 628 800\).
3,6 millions ça fait quand même beaucoup de centaines non ?
La factorielle
L’occasion est trop belle pour te rafraîchir la mémoire sur les factorielles ! Promis cela ne sera pas trop long.
Pour rappel la factorielle est définie (au programme de TS) sur les entiers. On la note avec un point d’exclamation. Par exemple factorielle 3 se note \(3!\). Elle correspond à la multiplication de tous les entiers inférieurs ou égaux au nombre considéré. Par exemple \(3!=1 \times 2 \times 3=6\).
Inutile de préciser que c’est une opération dont les résultats deviennent très vite conséquents.
\(3!=1 \times 2 \times 3=6\). \(4!=1 \times 2 \times 3 \times 4=24\). \(5!=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120\). \(6!=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6=720\).Le cardinal d’un ensemble
Juste un petit point de vocabulaire, comme ça tu pourras te la péter au dîner de ce soir, et puis comme en plus tout le monde passe sa journée enfermé on n’a pas grand chose à raconter à ses parents.
Le cardinal d’un ensemble c’est le nombre d’éléments de cet ensemble.
Changeons un peu les règles pour aller plus loin !
Pourquoi se limiter aux couples hétérosexuels ? C’est pas très inclusif tout ça. Donc nous, pour cet exemple, on va considérer que tous les couples sont possibles. Il y a 20 individus dans la maison, et on se demande encore une fois combien de couples et de configurations sont possibles. Bon on considère quand même qu’il faut être en couple avec quelqu’un, on ne peut pas être en couple avec soi-même.
C’est plus dur d’appliquer le raisonnement précédent parce qu’il n’y a plus 2 ensembles distincts. Il ne suffit plus de définir une application d’un ensemble de cardinal 10 vers un autre ensemble de cardinal 10.
Combien y a-t-il de possibilités pour former UN couple.
En fait, avec ces nouvelles règles, trouver le nombre de couples possibles, c’est trouver le nombre de façon qu’il existe de prendre 2 individus parmi un ensemble de 20 personnes.
Magie magie, il y a une notion en maths qui définit exactement ça : le coefficient binomial. Tu te souviens ? C’est ce qui se lit k parmi n.
Non ça ne te dit rien ? Aller on te fait un petit rappel :
Un coefficient binomial se lit ” k parmi n “. C’est un entier qui correspond au nombre de façons possibles de choisir k éléments parmi n éléments. (C’est ouf c’est exactement ce qu’on cherchait, c’est quand même bien fait les maths) !
Il n’est défini que pour k compris entre 0 et n. On peut l’exprimer avec la fonction factorielle :
$$
\left(\begin{array}{l}{n} \\ {k}\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) ! }
$$
Certaines valeurs sont à connaître
$$ \left(\begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$$
$$\left(\begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1$$
En effet, si on considère un ensemble de n éléments, il n’y a qu’une seule façon d’en choisir 0 ou d’en choisir n.
Donc avec ces nouvelles règles, on peut faire un couple de $$\left(\begin{array}{l}{20} \\ {2}\end{array}\right)=190$$manières différentes. 190 alors qu’avant on avait trouvé 3,6 millions ? Cela parait étrange. Attention à ne pas te mélanger les pinceaux. 190 c’est le nombre de possibilités de faire 1 SEUL couple parmi les 20 participants. 3,6 millions c’est le nombre de possibilités de faire 10 couples hétérosexuels avec les 20 participants.
Et donc le nombre de configurations ?
Et bien on reprend le raisonnement précédent.
Le premier qui choisit à 19 possibilités, le suivant 17 (il ne peut pas choisir les 2 du premier couple ni lui-même), etc.
On obtient donc \(19 \times 17 \times 15 \times 13 \times 11 \times 9 \times 7 \times 5\times 3 = 654\) millions.
Ça en fait des possibilités. Et là tu dis que la probabilité que tu sois en couple avec ton copain ou ta copine était vraiment très faible !
Une autre idée originale ? Découvres comment réviser ton bac avec YouTube !
