Les suites sont incontournables dans le programme de maths en terminale. Dans cet article, je te montre les principales méthodes à connaître pour déterminer la limite d’une suite.
Quelques rappels sur les suites
Suites possédant une limite
Définitions :
On considère \((u_n)\) une suite de nombres réels définie sur \(\mathbb{N}\) et \(l\in
\mathbb{R}\).
- \((u_n)\) admet \(l\) pour limite noté \(\lim \limits_{n \to +\infty} (u_n)=0\) s’il existe \(N \in\mathbb{N}\) tel que \(\forall n\ge N, \forall \epsilon > 0, |u_n-l|\le\epsilon\).
Cela signifie que tout intervalle ouvert centré en \(l\) contient toutes les valeurs de \((u_n)\) à partir d’un certain rang. On dit alors que \((u_n)\) converge vers \(l\).
- \((u_n)\) admet \(+\infty\) pour limite (noté \(\lim \limits_{n \to +\infty} (u_n)=+\infty\)) si pour tout réel \(A\), il existe \(N \in\mathbb{N}\) tel que \(\forall n\ge N, u_n\ge A\).
On dit alors que \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\).
- \((u_n)\) admet \(-\infty\) pour limite (noté \(\lim \limits_{n \to -\infty} (u_n)=-\infty\) si pour tout réel \(A\), il existe \(N \in\mathbb{N}\) tel que \(\forall n\ge N, u_n\le A\).
On dit alors que \((u_n)\) diverge vers \(-\infty\).
Unicité de la limite
Soit \((u_n)\) une suite définie sur \(\mathbb{N}\), si \((u_n)\) admet une limite alors elle est unique.
Théorème de la limite monotone
Soit \((u_n)\) une suite définie sur \(\mathbb{N}\),
- Si \((u_n)\) est croissante et majorée, alors \((u_n)\) converge.
- Si \((u_n)\) est décroissante et minorée, alors \((u_n)\) converge.
Théorème des suites adjacentes :
On considère \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites définies sur \(\mathbb{N}\).
Si :
- \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante (ou vice-versa)
- \(\lim \limits_{n \to +\infty} (u_n-v_n)=0\)
Alors \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes et convergent vers la même limite.
Théorème de comparaison
Soient \((u_n)\)et \((v_n)\) deux suites définies sur \(\mathbb{N}\) telles qu’à partir d’un rang \(N\), \(u_n\le v_n\)
- Si \(\lim \limits_{n \to +\infty} (u_n)=+\infty\) alors \(\lim \limits_{n \to +\infty} (v_n)=+\infty\)
- Si \(\lim \limits_{n \to +\infty} (v_n)=-\infty\) alors \(\lim \limits_{n \to +\infty} (u_n)=-\infty\)
Théorème des “gendarmes” ou théorème d’encadrement
Soient \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) trois suites définies sur \(\mathbb{N}\) telles qu’à partir d’un rang \(N\), \(u_n\le v_n\le w_n\).
Si \((u_n)\) et \((w_n)\) convergent vers une même limite notée \(l, l\in
\mathbb{R}\), alors \((v_n)\) converge vers \(l\) aussi.
Limites des suites géométriques
Soit la suite géométrique \(q^n\) de raison \(q\in\mathbb{R}\).
- si \(q>1\) alors \(\lim \limits_{n \to +\infty} (q^n)=+\infty\)
- si \(q\in ]-1;1[\) alors \(\lim \limits_{n \to +\infty} (q^n)=0\)
- si \(q=1\) alors \(\lim \limits_{n \to +\infty} (q^n)=1\)
- si \(q\le -1\) alors on ne peut pas conclure. (En fait on peut remarquer que \(\forall n \in
\mathbb{N}, (-1)^{2n}=1\) et \((-1)^{2n+1}=-1\))
Lire aussi : Mathématiques : le programme de mathématiques complémentaires en terminale
Comment déterminer une limite ?
Une fois que tu maîtrises bien les théorèmes et les règles d’opérations sur les limites, tu peux les mettre en pratique pour déterminer la limite d’une suite (question vue et revue des sujets d’annales).
Déterminer la limite d’une suite \((u_n)\) par des opérations algébriques
Si on cherche la limite d’une suite \((u_n)\) que l’on sait exprimer en fonction de \(n\), on peut :
- Calculer les termes ou les facteurs qui composent le terme de la suite \(u_n\)
- Appliquer les règles opératoires sur les limites selon que l’on a une somme, un produit ou un quotient.
Exemple :
\(\forall n \in\mathbb{N}, u_n= n^2 + 3n – \frac{1}{n}\)
- \(\lim \limits_{n \to +\infty} (n^2)=+\infty\)
- \(\lim \limits_{n \to +\infty} (3n)=+\infty\)
- \(\lim \limits_{n \to +\infty} (\frac{1}{n})=0\)
Donc, par somme : \(\fbox{\(\lim \limits_{n \to +\infty} (u_n)=+\infty\)}\)
Cas de formes indéterminées
Si jamais des opérations algébriques ne permettent pas de conclure car on retombe sur une forme indéterminée de type “\(\frac{0}{0}\)”, “\(\frac{\infty}{\infty}\)”, “\(\infty-\infty\)” ou “\(0\times\infty\)”, on peut alors :
- mettre en facteur le terme de plus haut degré pour les suites “sommes” et les suites “produits”.
- penser à l’expression conjuguée lorsque la suite s’exprime avec une racine carrée.
Exemple 1 :
\(\forall n \in\mathbb{N}, u_n= n^3-2n^2+3\)
On peut réexprimer \((u_n)\) : \(\forall n \in\mathbb{N}, u_n= n^3(1+\frac{2}{n^2} + \frac{3}{ n^3})\)
Et :
- \(\lim \limits_{n \to +\infty} (n^3)=+\infty\)
- \(\lim \limits_{n \to +\infty}(1+\frac{2}{n^2} + \frac{3}{ n^3})=1\)
Donc, par produit : \(\fbox{\(\lim \limits_{n \to +\infty} (u_n)=+\infty\)}\)
Exemple 2 :
Considérons une suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_n=\sqrt{n+1} – \sqrt{n}\)
Ici on a affaire à une forme indéterminée du type “\(\infty-\infty\)”. On va donc utiliser la technique du conjugué c’est-à-dire l’inégalité remarquable \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) pour se “débarasser” des racines.
Ainsi \(\forall n \in\mathbb{N}\),
\( \begin{align}u_n &=\frac{(\sqrt{n+1} – \sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}
\\ &=\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \end{align}\)
Sous cette forme-là, on remarque qu’il n’y a plus d’indétermination.
En effet : \(\lim \limits_{n \to +\infty} (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=+\infty\)
Donc, par quotient : \(\fbox{\(\lim \limits_{n \to +\infty} (u_n)=0\)}\)
Déterminer une limite grâce aux théorèmes de comparaison et d’encadrement
Théorème d’encadrement
Exemple 1 :
Soit \((u_n)\) une suite de nombres réels définie sur \(\mathbb{N}\) par :
\(u_n=\frac{\cos(n)}{n}\). Déterminer la limite de \((u_n)\).
\(\forall n \ge 1, -1\le\cos(n)\le 1 \Leftrightarrow \frac{-1}{n}\le u_n\le \frac{1}{n} \)
Or \(\lim \limits_{n \to +\infty} ( \frac{-1}{n})=\lim \limits_{n \to +\infty} ( \frac{1}{n})= 0\)
Donc, d’après le théorème d’encadrement : \(\fbox{\(\lim \limits_{n \to +\infty} (u_n)=0\)}\)
Théorème de comparaison
Exemple 2 : On pose pour tout entier naturel \(n, u_n=2^n -n\).
On admet que \( \forall n \ge 3, u_n \ge (\frac{3}{2})^n\) (peut se démontrer par récurrence).
Montrer que \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\).
On a : \(\frac{3}{2}>1\) donc \(\lim \limits_{n \to +\infty} (\frac{3}{2})^n=+\infty\).
Donc, par comparaison : \(\fbox{\(\lim \limits_{n \to +\infty} (u_n)=+\infty\)}\)
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Trouver la limite d’une suite récurrente
Parfois, les opérations algébriques ou l’utilisation des théorèmes ne suffisent pas pour déterminer la limite d’une suite. C’est souvent le cas pour les suites définies par récurrence, c’est-à-dire du type \(u_{n+1}=f(u_n)\). Dans ces cas-là, on peut alors d’abord montrer la convergence de la suite étudiée pour ensuite “passer à la limite” dans la relation de récurrence pour résoudre une équation du type “\(l=f(l)\)”.
Exemple :
On s’intéresse à la suite de termes réels \((u_n)\) définie par :
\(
\begin{cases}
u_0=1\\
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{(7u_n)}
\end{cases}
\)
Démontrons que \((u_n)\) converge vers 7.
- On montre par récurrence que \( \forall n \in \mathbb{N}, u_n \in [1;7]\). (Ici on l’admettra, si tu as des soucis pour faire la récurrence, n’hésite pas à consulter cet article !)
- Une fois que l’on sait que \((u_n)\) est bornée, on va chercher à montrer sa monotonie pour pouvoir utiliser le théorème de la limite monotone.
- On peut ensuite déterminer la valeur de la limite de \((u_n)\) en passant à la limite dans l’égamité de récurrence.
\( \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{7u_n}=\sqrt{7}\sqrt{u_n} \ge \sqrt{u_n}\sqrt{u_n}=u_n\)
car \((u_n)\) est positive et majorée par \(7\) et la fonction racine est croissante sur \(\mathbb{R}^{+}\).
Ainsi \((u_n)\) est croissante et majorée, donc d’après le théorème de la limite monotone, \((u_n)\) converge.
On pose \(\lim \limits_{n \to +\infty} (u_n)= l, l \in ]1;7]\).
On passe ensuite à la limite dans l’égalité : \(u_{n+1}=\sqrt{(7u_n)}\)
On a alors : \(l=\sqrt{7l} \Leftrightarrow l^2=7l \Leftrightarrow l^2- 7l=0 \Leftrightarrow l(l-7)=0 \Leftrightarrow l=7\) ou \(l=0\)
Or on sait que \(l \in ]1:7]\) d’après les questions précédentes, donc nécessairement : \(\fbox{\(l=7\)}\).
Voilà ! Maintenant, tu as toutes les cartes en main pour trouver la limite d’une suite !
