En mathématiques, démontrer un résultat ne consiste pas seulement à effectuer des calculs : c’est avant tout un exercice de raisonnement logique. Parmi les différentes méthodes de démonstration étudiées au lycée, le raisonnement par l’absurde occupe une place centrale. Cette méthode de preuve, aussi appelée démonstration indirecte, est particulièrement utilisée en arithmétique et en logique mathématique.
Le principe est simple, pour montrer qu’une proposition est vraie, on suppose qu’elle est fausse, puis on montre que cette hypothèse conduit à une contradiction. L’impossibilité logique de cette situation permet alors d’établir la vérité du résultat recherché. Le raisonnement par l’absurde est au programme de mathématiques en terminale, et intervient fréquemment dans les démonstrations portant sur la parité, les nombres premiers ou les nombres irrationnels.
Dans cet article, tu vas découvrir la définition du raisonnement par l’absurde, sa méthode pas à pas, des exemples classiques expliqués, ainsi que des exercices corrigés pour apprendre à l’utiliser efficacement.
Raisonnement par l’absurde : définition et principe
Le raisonnement par l’absurde repose sur une idée simple :
- Tu veux montrer qu’une proposition \(P\) est vraie.
- Plutôt que de la démontrer directement, tu supposes que \(P\) est fausse, c’est-à-dire que sa négation \(\bar{P}\) est vraie.
- En déroulant la logique des hypothèses, tu arrives à une contradiction avec un fait établi (un théorème, une définition ou simplement une évidence logique).
- Comme \(\bar{P}\) est impossible, cela signifie que \(P\) est nécessairement vraie.
C’est une démonstration indirecte, car tu ne prouves pas \(P\) directement, mais tu élimines toutes les alternatives possibles.
Raisonnement par l’absurde : un exemple simple expliqué pas à pas
Supposons que tu veuilles montrer qu’il n’existe pas de plus petit entier naturel positif.
- Supposons le contraire : il existe un plus petit entier positif, notons-le \(n\).
- Comme \(n > 0\), tu peux considérer \(n – 1\). Or, si \(n = 1\), alors \(n – 1 = 0\) n’est pas positif, mais sinon \(n – 1\) est bien un entier positif plus petit que \n\).
- Cela contredit le fait que \(n\) était supposé être le plus petit entier positif.
Conclusion : l’hypothèse de départ conduit à une contradiction, donc il n’existe pas de plus petit entier positif.
Cet exemple illustre la mécanique du raisonnement par l’absurde : supposer l’inverse, dérouler la logique, trouver un problème, puis conclure.
Exemples célèbres de raisonnement par l’absurde en mathématiques
L’infinitude des nombres premiers
Un des plus beaux exemples d’argument par l’absurde remonte à Euclide. On veut montrer que l’ensemble des nombres premiers est infini.
- Supposons qu’il existe seulement un nombre fini de nombres premiers : \(p_1, p_2, …, p_n\).
- Considérons le nombre \(N = p_1 \times p_2 \times … \times p_n + 1\).
- Ce nombre \(N\) n’est pas divisible par aucun des \(p_i\), car il laisse toujours un reste de 1.
- Mais alors, soit \(N\) est premier, soit il possède d’autres facteurs premiers distincts des \(p_i\).
Ainsi, on obtient un nouveau nombre premier qui n’est pas dans la liste. Contradiction. Donc, il existe une infinité de nombres premiers.
L’irrationalité de \(\sqrt{2}\)
Autre démonstration classique, attribuée aux pythagoriciens.
- On suppose que \(\sqrt{2}\) est rationnel, donc qu’il existe deux entiers relatifs \(p\) et \(q\) tels que \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\), la fraction étant irréductible.
- En élevant au carré, on a : \(2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2\)
- Donc \(p^2\) est pair, ce qui entraîne que \(p\) est pair, donc \(p = 2k\) pour un certain entier \(k\).
- On substitue : \(p^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2\)
- Donc \(q^2\) est pair, ce qui implique que \(q\) est pair.
Ainsi \(p\) \(q\) sont tous les deux pairs, ce qui contredit l’hypothèse selon laquelle la fraction était irréductible.
Conclusion : \(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel, il est irrationnel.
Pourquoi utiliser le raisonnement par l’absurde en mathématiques ?
L’intérêt de cette méthode est double :
- Clarté logique : elle permet de mettre en évidence l’impossibilité d’un cas. Parfois, il est plus facile de montrer que supposer le contraire aboutit à un non-sens que de démontrer directement le résultat.
- Puissance : elle permet de démontrer des résultats impossibles à attaquer directement (comme l’infinitude des nombres premiers).
- Exhaustivité : elle élimine les alternatives en ne laissant qu’une seule vérité possible.
En somme, le raisonnement par l’absurde est un outil indispensable dans la boîte à outils mathématique, au même titre que la récurrence ou la démonstration directe.
Étapes d’une démonstration par l’absurde
- Identifier la proposition \(P\) à démontrer.
- Supposer la négation \(\bar{P}\).
- Dérouler logiquement pour en tirer une conséquence impossible.
- Conclure que \(\bar{P}\) est fausse, et donc que \(P\) est vraie.
Cette méthodologie est universelle : elle peut concerner des propriétés arithmétiques, géométriques, algébriques ou même logiques.
Exercices
Exercice 1 : Démontre par l’absurde que il n’existe pas d’entier impair dont le carré est pair.
Exercice 2 : Prouve par l’absurde que un nombre premier supérieur à 2 est impair.
Correction
Exercice 1 :
- Supposons le contraire : il existe un entier impair \(n\) dont le carré \(n^2\) est pair.
- Écrivons \(n\) impair : \(n = 2k + 1\) pour un entier \(k\).
- Alors : \(n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\)
- Le résultat est de la forme \(2m + 1\), donc impair.
Contradiction. L’hypothèse de départ est fausse, donc aucun carré d’entier impair n’est pair.
Exercice 2 :
- Supposons qu’il existe un nombre premier supérieur à 2 qui soit pair.
- Notons ce nombre premier \(p\). Alors \(p = 2k\) avec \(k \geq 2\).
- Si \(p\) est pair et supérieur à 2, alors \(p\) est divisible par 2 et par un autre nombre (puisque \(k \geq 2\)).
- Donc \(p\) ne peut pas être premier.
Contradiction. Ainsi, tout nombre premier supérieur à 2 est nécessairement impair.
