Les identités remarquables sont essentielles en algèbre pour développer ou factoriser des expressions plus facilement sans avoir à utiliser la méthode classique de la double distributivité. Il existe trois identités remarquables à l’ordre 2 qui sont : le carré d’une somme, le carré d’une différence et la différence de carrés.
Les identités remarquables du second degré
Carré d’une somme
L’identité du carré d’une somme est utilisée pour développer des expressions du type \( (a + b)^2 \). Cette identité peut s’écrire comme suit :
\( (\color{red}{a} + \color{green}{b})^2 = \color{red}{a}^2 + 2\color{red}{a}\color{green}{b} + \color{green}{b}^2 \)
Carré d’une différence
L’identité du carré d’une différence, quant à elle, est utilisée pour développer des expressions comme \( (a – b)^2 \). Elle se formule ainsi :
\( (\color{red}{a} – \color{green}{b})^2 = \color{red}{a}^2 – 2\color{red}{a}\color{green}{b} + \color{green}{b}^2 \)
Différence de carrés
Enfin, l’identité remarquable de la différence de carrés sert à factoriser des expressions de la forme \( a^2 – b^2 \). Elle s’écrit :
\( \color{red}{a}^2 – \color{green}{b}^2 = (\color{red}{a} – \color{green}{b})(\color{red}{a} + \color{green}{b}) \)
Remarque : Ces identités remarquables permettent à la fois de développer et de factoriser des expressions algébriques, simplifiant ainsi de nombreux calculs.
Exercices sur les identités remarquables
Exercice 1 :
Développer l’expression suivante :
\( (3 + x)^2 \)
Exercice 2 :
Développer l’expression suivante :
\( (x – 5)^2 \)
Exercice 3 :
Factoriser l’expression suivante :
\( x^2 – 16 \)
Exercice 4 :
Trouver la valeur de l’expression :
\( (2x + 3)^2 \)
Exercice 5 :
Démontrer que \( (\color{red}{a} + \color{green}{b})^2 = \color{red}{a}^2 + 2 \color{red}{a}\color{green}{b} + \color{green}{b}^2 \).
Exercice 6 :
Démontrer que \( (\color{red}{a} – \color{green}{b})^2 = \color{red}{a}^2 – 2 \color{red}{a}\color{green}{b} + \color{green}{b}^2 \).
Exercice 7 :
Démontrer que \( \color{red}{a}^2 – \color{green}{b}^2 = (\color{red}{a} – \color{green}{b})(\color{red}{a} + \color{green}{b}) \).
Solutions des exercices sur les identités remarquables
Solution de l’exercice 1 :
L’énoncé est \( (3 + x)^2 \), avec \( \color{red}{a = 3} \) et \( \color{green}{b = x} \). En appliquant l’identité remarquable du carré d’une somme :
\((\color{red}{3} + \color{green}{x})^2 = \color{red}{3}^2 + 2 \times \color{red}{3} \times \color{green}{x} + \color{green}{x}^2 = 9 + 6x + x^2\)
Solution de l’exercice 2 :
L’énoncé est \( (x – 5)^2 \), avec \( \color{red}{a = x} \) et \( \color{green}{b = 5} \). On applique l’identité du carré d’une différence :
\( (\color{red}{x} – \color{green}{5})^2 = \color{red}{x}^2 – 2 \times \color{red}{x} \times \color{green}{5} + \color{green}{5}^2 = x^2 – 10x + 25 \)
Solution de l’exercice 3 :
L’énoncé est \( x^2 – 16 \), avec \( \color{red}{a = x} \) et \( \color{green}{b = 4} \). On utilise l’identité de la différence de carrés :
\( \color{red}{x}^2 – \color{green}{4}^2 = (\color{red}{x} – \color{green}{4})(\color{red}{x} + \color{green}{4}) \)
Solution de l’exercice 4 :
L’énoncé est \( (2x + 3)^2 \), avec \( \color{red}{a = 2x} \) et \( \color{green}{b = 3} \). On applique l’identité du carré d’une somme :
\( (\color{red}{2x} + \color{green}{3})^2 = \color{red}{(2x)}^2 + 2 \times \color{red}{2x} \times \color{green}{3} + \color{green}{3}^2 = 4x^2 + 12x + 9 \)
Solution de l’exercice 5 :
Démontrons que : \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b = a^2 + 2ab + b^2 \)
Solution de l’exercice 6 :
Démontrons que : \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \).
\( (a – b)^2 = (a – b)(a – b) = a^2 – ab – ab + b^2 = a^2 – 2ab + b^2 \).
Solution de l’exercice 7 :
Démontrons que : \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b) \).
\( a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) = a^2 + ab – ab – b^2 = a^2 – b^2 \).
Complément : les identités remarquables du troisième degré
Cube d’une somme
L’identité du cube d’une somme est utilisée pour développer des expressions du type \( (a + b)^3 \). Cette identité peut s’écrire comme suit :
\( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
Exemple : développons l’expression \( (x + 2)^3 \).
\( (x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)
Cube d’une différence
L’identité du cube d’une différence, quant à elle, est utilisée pour développer des expressions comme \( (a – b)^3 \). Elle se formule ainsi :
\( (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)
Exemple : développons l’expression \( (3 – y)^3 \).
\( (3 – y)^3 = 3^3 – 3 \times 3^2 \times y + 3 \times 3 \times y^2 – y^3 = 27 – 27y + 9y^2 – y^3 \)
Différence de cubes
Enfin, l’identité de la différence de cubes permettent de factoriser l’expression de la forme :
\( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \)
Par exemple :
\( x^3 – 2^3 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4) \)
Remarque : Ces identités remarquables de degré 3 sont particulièrement utiles pour simplifier des calculs complexes, tant en développement qu’en factorisation d’expressions algébriques.