Ce chapitre peut peut-être te faire peur à cause de son nom, mais ne t’inquiète pas, dans cet article, nous verrons qu’il est assez simple de comprendre ce qu’est une équation différentielle si on est méthodique et rigoureux.
Attention, ce cours nécessite au préalable la maîtrise du cours sur les primitives
Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?
On appelle équation différentielle une équation dans laquelle l’inconnue recherchée est une fonction (notée \( y\) en général)
Pourquoi \( y\) ? Cela peut s’expliquer par la définition d’une fonction f qui se note sous la forme
\(y=f(x)\)
Pourquoi différentielle ? Car cette équation met en jeu les dérivées successives de la fonction\( y\)
Equation différentielle du 1er ordre : \( y\) définie en fonction de sa dérivée première
Equation différentielle du 2ème ordre : \( y\) définie en fonction de sa dérivée seconde
…
Equation différentielle du nème ordre : \( y\) définie en fonction de sa dérivée nème
Explications détaillées
Il existe une multitude d’équation différentielles différentes et pour chacune d’entre elles, de multiples méthodes de résolution différentes. Les programmes de mathématiques de terminale vont restreindre le champ des possibles à 2 types d’équations différentielles (pour les mathématiques complémentaires) et 3 types d’équations différentielles (pour la spécialité mathématique)
Exemple :
\(y`=3y\) est une équation différentielle,
\(y’=5y+9\) est une équation différentielle,
\(y\) est la fonction recherchée
Si tu as encore du mal à comprendre cette histoire de fonction avec \( y\), remplace \( y\) par \( f\) (la notation que l’on utilise habituellement pour une fonction)
Ce qui donne : ((\(y=f(x)\) c’est le lien)
\(f’=3f\)
où \(f’\) est la dérivée de\( f\)
Là, tu comprends peut-être mieux qu’il s’agisse bien d’une équation dont l’inconnue recherchée est la fonction \( f\) (tu ne connais pas encore \( f\) et tu aimerais bien trouver son expression grâce à cette équation)
Astuce pour les équations différentielles :
Comme il y a plein de types d’équations différentielles avec plein de protocoles différents, l’astuce est de reconnaitre les 3 ou 4 formes possibles d’équations différentielles dans le programme de terminale et d’apprendre leur méthode de résolution associée. Il faut que ton apprentissage soit clair et structuré.
#1 : Équation différentielle du type \(y’=h\)
Soit h une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\)
La fonction \(f\) est une solution de l’équation différentielle \(y’=h\) si et seulement si \(f\) est dérivable sur \(I\) et \(\forall x \in I, f'(x)=h(x)\)
Exemple :
Trouver l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \(y’=2x\) (donc ici c’est le cas où \(\forall x \in \mathbb{R}, h(x)=2x\) et \(I=R\))
Intuition et recherches (au brouillon) :
Ceci est une équation différentielle assez simple à résoudre.
Le but est de trouver à quoi est égal la fonction y
Donc fondamentalement, la question posée ici est trouve-moi une fonction dont la dérivée est égale à 2x. Il faut donc que tu raisonnes à l’envers sur tes formules de dérivations.
En effet, qu’est-ce qui, en dérivant va me donner \(x^2\) ?
Après quelques secondes de réflexion, tu dois trouver que c’est \(x^2\)
En fait, tu viens de trouver une primitive de la fonction \(2x\), sauf que d’après ton cours, tu sais qu’il existe une infinité de primitives (car il faut toujours rajouter la constante)
Donc \(x^2\) avec \(k \in \mathbb{R}\)
Donc \(y=x^3 + k\)
Rédaction (au propre) :
\(h\) est définie sur \mathbb{R}.
On pose \(h : x \mapsto x^2+k\). Comme \(f\) est dérivable sur \mathbb{R} (en tant que fonction polynomiale), on a :
\(\forall x \in \mathbb{R}, f'(x)=2x\)
Donc d’après le cours, la fonction \(f : x \mapsto x^2+k\) est solution de l’équation différentielle \(y’=2x\)
Ainsi l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \(y’=2x\) est \({x^2+k avec k \in \mathbb{R}}\)
Astuce : pour résoudre ce type d’équation, il suffit de bien connaitre les dérivées et les primitives des fonctions usuelles. Cela te permettra de retomber sur tes pattes quand tu auras identifié la dérivée.
#2 : Équation différentielle du type y’=ay avec a réel
Soit \(a \in \mathbb{R}\)
Une fonction\( y\) est solution de l’équation différentielle \(y’=ay\) si et seulement \(y\) est de la forme \(x \mapsto c\exp(ax)\) avec \(c \in \mathbb{R}\) (constante réelle)
Exemple :
Trouver l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \(y’=4y\) (donc ici c’est le cas où \(a=4\))
Intuition et recherches (au brouillon) :
C’est de la pure application du cours, il te suffit de repérer une équation différentielle de cette forme \(y’=ay\), puis tu identifies qui est \(a\) (donc \(a=4\)) et tu l’appliques dans la formule du cours, qui sont les fonctions de la forme \(c\exp(ax)\), donc \(c\exp(cx)\)
Rédaction (au propre) :
Comme on a \(y’=4y\), d’après le cours, on peut écrire que la solution de cette équation est une fonction de la forme \( x \mapsto c\exp(4x)\) avec \(c \in \mathbb{R}\)
Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle sont les fonctions de la forme \( x \mapsto c\exp(4x)\) avec \(c \in \mathbb{R}\)
#3 : Équation différentielle du type y’=ay + b avec \(a \in \mathbb{R*}\) et \(b \in \mathbb{R}\)
Soit \(a \in \mathbb{R*}\) et \(b \in \mathbb{R}\)
Une fonction \(y\) est solution de l’équation différentielle \(y’=ay\) si et seulement l’ensemble des solutions est de la forme \( x \mapsto c\exp(ax) – b/a\) avec \(c \in \mathbb{R}\) (constante réelle)
Exemple :
Trouver l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \(y’=3y+2\) (donc ici c’est le cas où \(a=3\))
Intuition et recherches (au brouillon) :
C’est également de la pure application du cours, il te suffit de repérer une équation différentielle de cette forme \(y’=ay+b\), puis tu identifies qui sont \(a\) et \(b\) (donc \(a=3\) et \(b=2\)) et tu l’appliques dans la formule du cours, qui sont les fonctions de la forme \( x \mapsto c\exp(ax) – b/a\), donc \( x \mapsto c\exp(3x) – 2/3\).
Rédaction (au propre) :
Comme on a \(y’=3y+2\), d’après le cours, on peut écrire que la solution de cette équation est une fonction de la forme \( x \mapsto c\exp(3x) – 2/3\) avec \(c \in \mathbb{R}\).
Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle sont les fonctions de la forme \( x \mapsto c\exp(3x) – 2/3\) avec \(c \in \mathbb{R}\).
#4 : Équation différentielle du type y’=ay + h avec \(a \in \mathbb{R}\) et \(h\) une fonction (pour les spé maths uniquement)
Soit \(h\) une fonction définie sur \(I\).
Une fonction \(y\) est solution de l’équation différentielle \(y’=ay+h\) si et seulement l’ensemble des solutions est de la forme \(x \mapsto u(x) + v(x)\) où \(u\) est la solution quelconque de l’équation différentielle \(y’=ay\) et \(v\) est la solution particulière de l’équation \(y’=ay+b\).
Exemple :
Trouver l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \(y'(x)=2y(x)+2(exp(2x)-1)\)
On pourra d’abord montrer que la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=2xexp(2x)+1\) est solution de cette équation différentielle.
Intuition et recherches (au brouillon) :
C’est une application du cours un peu plus complexe. Tu dois déjà repérer quelle est la fonction \(h\)
Ici \(h(x)=2(exp(2x)-1)\) et le réel \(a\) : \(a=3\).
Ton but va être de montrer que \(g(x)=2xexp(2x)+1\) est bien solution de cette équation différentielle.
Pour cela, la méthode va consister à :
- Dériver \(g\) pour obtenir une expression de \(g’\)
- Développer l’expression de \(2y(x)+2(exp(2x)-1)\) pour l’exprimer en fonction de \(g’\) (tu dois reconnaitre l’expression de \(h’\) après avoir développé)
\(g\) est la solution particulière de l’équation \(y’=ay+b\) donc \(g=v\)
Ensuite on poursuit pour trouver \(u\) :
- Résoudre l’équation différentielle\( y’=2y\) pour trouver \(u\)
- Ainsi, la fonction \(u+v\) est solution de l’équation différentielle
Rédaction (au propre) :
La fonction \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur \(\mathbb{R}\), et on a :
D’une part,
\(\forall x \in \mathbb{R}, g'(x)= 2exp(2x)+4xexp(2x) = (4x+2)exp(2x)\)
D’autre part,
\(\forall x \in \mathbb{R}, 2h(x)+2(exp(2x)-1)=4xexp(2x)+2+2(exp(x)-2=4x+2)exp(2x)=g'(x)\)
On sait également que les solutions de l’équation différentielle \(y’=2y\) sont l’ensemble des fonctions de la forme \(y : x \mapsto c\exp(2x)\) avec \(c \in \mathbb{R}\)
Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle \(y'(x)=2y(x)+2(exp(2x)-1\) sont les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par
\(\forall x \in \mathbb{R}, g(x)+y(x)=2xexp(2x)+1=cexp(2x)=(2x+c)exp(2x) +1\)
J’espère que cet article aura pu te présenter ce que sont concrètement les équations différentielles, et t’aura aidé à mieux les maîtriser !
