Dans cet article, on va voir l’utilisation d’un théorème très pratique pour le calcul de limite lorsque l’on connait des inégalités de fonctions au préalable : c’est le théorème de comparaison (on l’appelle parfois théorème dit de “prolongement des inégalités”).
Il fonctionne de façon assez logique : si on a par exemple \( \forall x \in \mathbb R, f(x) \le g(x)\), et \(\lim \limits_{x \to +\infty}(f(x))=+\infty\), alors comme \(f\) est plus petit que \(g\), et comme la limite de \(f\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), on imagine bien que la fonction \(f\) va “entraîner” la fonction \(g\) avec elle en \(+\infty\), donc on en déduit ainsi la limite de \(g\) en \(+\infty\) : \(\lim \limits_{x \to +\infty}(g(x))=+\infty\)
Signe de la limite
Soit \(x_0\) un nombre réel ou \(+\infty\) ou \(-\infty\) ;
Si une fonction est positive au voisinage de \(x_0\), alors sa limite quand \(x\) tend vers \(x_0\) est encore positive.
Conséquence
Si, au voisinage de \(x_0\), on a \(f(x) \le g(x)\), alors si les limites existent et sont finies :
\(\lim \limits_{x \to x_0}f(x) \le \lim \limits_{x \to x_0}g(x)\).
Démonstration :
On utilise ce qui précède avec la fonction \(f(x)-g(x)\) qui est positive.
Donc \(\lim \limits_{x \to x_0}(g(x)-f(x)) \ge 0 \Rightarrow \lim \limits_{x \to x_0}g(x) \ge \lim \limits_{x \to x_0}f(x)\).
Remarque
Si \(g(x)=k\) (où \(k\) est une constante), alors :
\(f(x) \le k \Rightarrow \lim \limits_{x \to x_0}f(x) \le k\)
Cas particulier :
Si |\(f(x)-l\)|\(\:\le h(x)\) et si \(\lim \limits_{x \to x_0}h(x)=0\), alors \(\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=l\).
(C’est le théorème d’encadrement ou “théorème des gendarmes” écrit avec des valeurs absolues)
Théorème des gendarmes (ou de l’encadrement)
Trois fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) vérifient \(f(x) \le g(x) \le h(x)\) au voisinage de \(x_0\).
Si \(\lim \limits_{x \to x_0}f(x)= \lim \limits_{x \to x_0}h(x)=l\) (\(l\in\mathbb{R}\)), alors \(\lim \limits_{x \to x_0}g(x)=l\).
Remarque
Les fonctions \(f\) et \(h\) sont les deux gendarmes qui contraignent \(g\) à adopter le même comportement qu’elles.
Théorème de comparaison
Soit deux fonctions \(f\) et \(g\) qui vérifient, au voisinage de \(x_0\), \(f(x) \le g(x)\) :
- Si \(\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=+\infty\), alors \(\lim \limits_{x \to x_0}g(x)=+\infty\)
\(\:\)
- Inversement, si \(\lim \limits_{x \to x_0}g(x)=-\infty\), alors \(\lim \limits_{x \to x_0}f(x)=-\infty\)
