La démonstration de la dérivée du logarithme népérien fait partie des ROC exigibles au bac de mathématiques. Il faut savoir montrer que, pour tout $x > 0$, on a $\ln'(x)=\frac{1}{x}$​ en utilisant l’égalité fondamentale $e^{\ln(x)}=x$ et la formule de dérivation d’une composée. Dans cette fiche, on te propose une démonstration claire, structurée et rédigée comme attendu le jour de l’examen, ainsi que les erreurs à éviter pour ne pas perdre de points.

Ce qu’il faut savoir avant la démonstration

Avant de commencer la démonstration de la dérivée de $\ln(x)$, il est indispensable de maîtriser les éléments suivants :

• La fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}_+^* = ]0; +\infty[$.

• $\forall x>0$, on a l’égalité fondamentale : $$e^{\ln(x)} = x$$
• La dérivée de la fonction exponentielle vérifie : $$(e^x)’ = e^x$$
• La dérivée d’une composée est donnée par : $$(u \circ v)’ = v’ \times (u’ \circ v)$$

Ces résultats seront utilisés dans la démonstration.

Énoncé de la dérivée de la fonction \(\ln\) (logarithme népérien)

On admet la dérivabilité de la fonction \(\ln\) sur \(\mathbb R^*_+\)

Démontrer que : \(\forall x \in \mathbb R^*_+, ln'(x)=\frac{1}{x}\).

Aide à la résolution – préliminaire

On rappelle les formules et résultats suivants :

• \(\forall x \in \mathbb R^*_+, e^{ln(x)}=x\)
• Pour toutes fonctions \(u\) et \(v\), on a \((u \circ v)’=v’ \times (u’ \circ v)\) (dérivée d’une composée)

Démonstration de la dérivée de la fonction \(\ln\) (logarithme népérien)

Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$​.

On part de l’identité fondamentale :$$e^{\ln(x)} = x$$

Étape 1 : dériver les deux membres

On dérive membre à membre :$$(e^{\ln(x)})’ = (x)’$$

En utilisant la formule de la dérivée d’une composée, on obtient :

$$\ln'(x) \cdot e^{\ln(x)} = 1$$

Étape 2 : simplifier

Or on sait que :$$e^{\ln(x)} = x$$

Donc :$$\ln'(x) \cdot x = 1$$

Étape 3 : isoler $\ln'(x)$

Comme $x \neq 0$, on peut diviser par $x$ :

$$\ln'(x) = \frac{1}{x}$$

Ainsi :$$\fbox{\(\forall x \in \mathbb{R}_+^*, \ln'(x)=\frac{1}{x}\)}$$

Mini-fiche de révision (ROC en 5 lignes)

1. On part de $e^{\ln(x)} = x$.
2. On dérive les deux membres.
3. On utilise la dérivée d’une composée.
4. On remplace $e^{\ln(x)}$ par $x$.
5. On obtient $\ln'(x) = \frac{1}{x}$.

Intérêt de la dérivée de la fonction \(\ln\)

Son intérêt est simple et classique, pouvoir calculer le signe de la dérivée d’une fonction permet d’en étudier ses variations !
En l’occurrence, ici on se rend compte que :

\(\forall x \in \mathbb R^*_+, \frac{1}{x} \ge 0\), donc

\(\forall x \in \mathbb R^*_+, \ln'(x) \ge 0\)

donc \(\ln’\) est positive sur \(\mathbb R^*_+\), donc \(\ln\) est croissante sur \(\mathbb R^*_+\)

Exemple d’application au bac

On peut maintenant utiliser la formule pour dériver des fonctions contenant un logarithme.

Exemple 1

$$\frac{d}{dx} \ln(3x+2)$$

On applique la formule :$$(\ln(u))’ = \frac{u’}{u}$$

Donc :$$\frac{d}{dx} \ln(3x+2) = \frac{3}{3x+2}$$

avec la condition $3x+2 > 0$.

Exemple 2

$$\frac{d}{dx} (x \ln x)$$

On utilise la formule de la dérivée d’un produit :

Ainsi :

$$(x \ln x)’ = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$$$$= \ln x + 1$$

Erreurs fréquentes dans la démonstration

• Oublier que la démonstration se fait uniquement sur $\mathbb{R}_+^*$​.
• Se tromper dans la formule de la dérivée d’une composée.
• Oublier que $e^{\ln(x)} = x$.
• Oublier de préciser que $x \neq 0$ avant de diviser.

FAQ : Dérivée de ln(x) : démonstration (ROC bac) et méthode à connaître