Ce corrigé d’annales de bac de maths S 2015 a pour vocation de permettre une compréhension approfondie du sujet de mathématiques du Bac S 2015 en France métropolitaine. Il présente donc une rédaction très détaillée et progressive, agrémentée de remarques et conseils pratiques pour aborder les questions. L’objectif est de comprendre précisément le raisonnement demandé par chacun des exercices, pour être capable par la suite de le mettre en œuvre rapidement face à un sujet similaire. Une conséquence de cette conception du corrigé est que la rédaction proposée dans ce PDF est trop détaillée pour une réelle copie de bac. Ce corrigé est donc à considérer comme un outil pédagogique pour s’exercer sur les notions au programme, davantage que comme une annale corrigée.

Pour te guider dans ton travail, tu trouveras ci-dessous un résumé exercice par exercice des notions abordées dans ce sujet, ainsi qu’un récapitulatif des méthodes et astuces utilisées pour la résolution.

Le corrigé est à retrouver ici : Corrigé d’annales bac maths S 2015

Exercice 1

La première partie de cet exercice tourne autour des probabilités, et plus précisément des lois à densité. Elle fait donc en particulier intervenir du calcul d’intégrales (par primitivation d’une fonction), et nécessite l’utilisation de la calculatrice pour calculer des probabilités faisant intervenir une loi normale de paramètres donnés.

Quelques astuces et conseils :

• Il faut bien comprendre le lien entre probabilités et intégrale de la fonction de densité. Faire des dessins est très souvent utile pour trouver des astuces de calcul, gagner du temps et vérifier d’un coup d’œil si les résultats que l’on trouve semblent cohérents.
• Attention à bien connaître les propriétés des lois à densité classiques, et notamment leurs espérances (loi uniforme, loi normale, loi exponentielle…).
• Méthode : lorsque l’on demande de déterminer la valeur d’un paramètre afin de réaliser une certaine condition, il faut commencer par exprimer les quantités d’intérêt en fonction de ce paramètre, ce qui permet ensuite de choisir la bonne valeur du paramètre pour réaliser les conditions souhaitées.
• Pour gagner du temps et trouver les bonnes idées pour répondre à une question, il faut toujours se demander si les questions précédentes ne peuvent pas être réutilisées.
• Astuce de rédaction : les correcteurs apprécient toujours une petite phrase de conclusion, à la fin d’une longue série de calculs. En plus de mettre le correcteur de bonne humeur, cela permet de prouver que l’on comprend bien le sens des calculs et que l’on sait ce que l’on fait !

La seconde partie traite quant à elle de probabilités – notamment de probabilités conditionnelles – et de statistiques. Elle demande d’être capable de reformuler en termes mathématiques un énoncé donné avec des mots, et de comprendre et exploiter correctement des formules comme celle des probabilités totales ou des probabilités composées.

Quelques astuces et conseils :

• Pour se faciliter le travail, il faut penser à lister dès le début tous les événements pour lesquels on a des informations, et à leur donner des noms clairs et faciles à utiliser, pour ne pas se perdre dans les calculs par la suite. Dessiner un arbre des probabilités, au brouillon ou directement sur la copie, peut également être très utile pour visualiser les différentes situations possibles et comprendre rapidement comment calculer leurs probabilités respectives.
• Lorsque l’on cherche à faire des calculs explicites, il faut veiller à bien conserver les valeurs exactes des calculs intermédiaires, sans faire d’arrondis. En effet, si on ne fait pas attention à travailler avec des valeurs exactes jusqu’au bout des calculs, les erreurs d’arrondis risquent de s’additionner, et on risque finalement de ne pas obtenir le bon résultat ! Il ne faut donc arrondir les valeurs obtenues que lors du tout dernier calcul d’une question.
• Attention à ne pas confondre probabilité conditionnelle et probabilité d’une intersection ! C’est une erreur classique, mais grave, car il ne s’agit pas du tout des mêmes événements.
• Méthode : lorsque l’énoncé invite à commenter une observation portant sur la réalisation d’un événement probabiliste, il faut penser à calculer un intervalle de fluctuation au seuil de 95% pour la fréquence de réalisation de l’événement en question. Il suffit ensuite de vérifier si la fréquence observée est bien comprise dans cet intervalle.
• Pour arrondir les bornes d’un intervalle, il faut arrondir la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès !

Exercice 2

Cet exercice est un exercice de géométrie dans l’espace. Il fait intervenir les notions de parallélisme entre droites dans l’espace, de parallélisme entre une droite et un plan, d’orthogonalité entre une droite et un plan, de droites sécantes, de calcul de longueurs, et une question fait également intervenir des notions relatives aux polynômes du second degré.

Quelques astuces et conseils :

• Dans un exercice de géométrie, il faut toujours commencer par faire un dessin, au brouillon ou même directement sur la copie, pour visualiser la situation.
• Attention toutefois : un dessin n’est pas une preuve ! Il permet de comprendre la situation et de deviner rapidement la réponse à certaines questions mais il faut toujours faire les calculs pour démontrer que ce que l’on devine sur le dessin est bien vrai. Cependant, si l’on manque de temps ou si l’on n’arrive pas à rédiger une véritable preuve, il reste préférable de présenter sur la copie un dessin propre et d’expliquer que l’on devine la réponse à la question à partir du dessin, plutôt que de ne rien mettre du tout. Mais il ne faut pas essayer d’arnaquer le correcteur : on préférera toujours une remarque honnête disant “je ne parviens pas à rédiger une vraie preuve avec des calculs, mais je devine sur le dessin que la réponse à cette question est…” plutôt qu’un candidat qui essaie d’embobiner le correcteur en prétendant “on voit bien sur le dessin que…”.
• Méthode : pour prouver que deux plans P1 et P2 sont parallèles, il faut trouver deux vecteurs directeurs non colinéaires de P1, et montrer que ces deux vecteurs sont également des vecteurs directeurs de P2.
• Méthode : pour vérifier qu’un point dont on connait les coordonnées est un point d’intersection entre une droite et un plan, il suffit de vérifier que ce point appartient à la fois à droite et au plan.
• Méthode : pour montrer qu’un point dont on connaît les coordonnées appartient à une droit ou à un plan dont on connait une équation, il suffit de vérifier que les coordonnées de ce point vérifient l’équation de la droite ou du plan en question.
• Attention à bien lire les questions ! Lorsque l’énoncé donne par avance les coordonnées d’un point que l’on recherche, il ne faut pas perdre de temps à re-calculer soi-même ces coordonnées : la plupart du temps, il suffit de vérifier que les coordonnées qui sont fournies fonctionnent.

Deux conseils supplémentaires, déjà donnée dans les remarques concernant le premier exercice mais qui s’appliquent ici aussi :

• Pour gagner du temps et trouver les bonnes idées pour répondre à une question, il faut toujours se demander si les questions précédentes ne peuvent pas être réutilisées.
• Astuce de rédaction : les correcteurs apprécient toujours une petite phrase de conclusion, à la fin d’un long raisonnement. En plus de mettre le correcteur de bonne humeur, cela permet de prouver que l’on comprend bien ce que l’on fait et pourquoi on le fait !

Exercice 3
(candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

La première question de cet exercice est une question classique de résolution d’une équation du second degré dans C.

A partir de la seconde question, c’est un exercice de géométrie complexe. Pour l’aborder correctement, il faut être à l’aise avec les notions de forme exponentielle, de module et d’argument d’un nombre complexe et d’affixe complexe d’un point dans le plan. Il faut également être capable de manipuler efficacement les nombres complexes dans des calculs. En particulier, il faut connaître les valeurs classiques des fonctions cosinus et sinus (en π/3, π/2, π/4, π/6…) et savoir les exploiter dans les calculs. Il faut par ailleurs savoir faire le lien entre certaines notions géométriques et les propriétés des nombres complexes. Il faut par exemple être capable de traduire la phrase “les points d’affixes complexes a et b sont sur un même cercle de centre O” en “les nombres complexes a et b ont le même module”. Enfin, il faut être capable de placer avec précision des points dans le plan à partir de leur affixe complexe.

Quelques astuces et conseils :

• On ne le répétera jamais assez : commencer par faire un dessin pour visualiser ce qui se passe, au brouillon ou directement sur la copie, n’est jamais une perte de temps !
• Attention : lorsqu’une question demande explicitement de placer des points sur un dessin, il ne faut pas utiliser des valeurs approchées pour leurs abscisses et ordonnées ! Il faut utiliser des méthodes de construction qui permettent de placer précisément les points demandés.

Une mise en garde déjà faite dans les remarques concernant l’exercice 2, mais qui reste valable pour cet exercice : un dessin, même tracé avec rigueur et précision, n’est pas une preuve ! Il faut démontrer toutes nos affirmations à l’aide de calculs.

Exercice 3
(candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)

Cet exercice traite de la résolution d’équations arithmétiques et de matrices. Il nécessite d’être à l’aise avec le produit matriciel et le calcul de puissances d’une matrice diagonale. Il y est également nécessaire de savoir inverser une matrice à la calculatrice. Cet exercice fait par ailleurs intervenir quelques notions de probabilités, notamment des probabilités conditionnelles et la formule des probabilités totales. Il nécessite enfin d’être capable de produire une démonstration par récurrence, et d’être à l’aise avec les calculs de limites de suites.

Quelques astuces et conseils :

• Plusieurs questions de cet exercice demande de démontrer des équivalences (“démontrer que blablabla si et seulement si blablabla”). Il est alors possible de raisonner directement par équivalences successives – et lorsqu’on peut le faire, il est préférable de choisir cette solution, car elle est de loin la plus rapide en termes de rédaction. Mais attention : quand on n’arrive pas à raisonner directement par équivalences, il faut alors bien démontrer le sens direct et le sens réciproque ! Il est essentiel de mettre en avant dans la rédaction la structure du raisonnement (démonstration des deux implications, dans deux paragraphes différents bien identifiables sur la copie), pour que le correcteur puisse voir en un coup d’œil que la structure de la démonstration d’une équivalence est bien comprise.
• Il faut bien être attentif à la lecture de l’énoncé : lorsque celui-ci donne une indication ou prend la peine de rappeler explicitement une propriété de cours, il faut penser à l’utiliser.

Et voici de nouveau un rappel sur un point très important déjà abordé dans les exercices précédents : pour gagner du temps et trouver les bonnes idées pour répondre à une question, il faut toujours se demander si les questions précédentes ne peuvent pas être réutilisées.

Exercice 4

La première partie de cet exercice est une étude de fonction. Elle nécessite d’être à l’aise avec les opérations de dérivation et de primitivation, l’établissement d’un tableau de signe, le calcul de la tangente à une courbe en un point.

Une astuce : lorsque l’on recherche une primitive, pour vérifier que le résultat obtenu est le bon, il suffit de dériver la primitive obtenue et de vérifier que l’on retrouve bien la fonction de départ.

La seconde partie exploite l’étude de fonction menée dans la première partie, et fait intervenir des calculs de surfaces, notamment par intégration d’une fonction entre deux points. Elle fait également intervenir un calcul de longueur, et la dernière question porte sur un algorithme à compléter, dont il est donc nécessaire de comprendre la structure et l’objectif.

Quelques astuces et conseils :

• Lorsque l’énoncé demande de déterminer si une affirmation est vraie ou fausse, il ne suffit pas d’affirmer “cette proposition est vraie” ou “cette proposition est fausse” : il faut le démontrer (sauf dans le cas où l’énoncé demanderait clairement “dire sans démonstration si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses”).
• Attention aux bornes (pour les boucles de type “tant que” et “pour tout”) dans les algorithmes : c’est souvent sur ces points que les erreurs d’inattention interviennent, surtout en fin de sujet. Pour s’assurer que les bornes que l’on choisit sont les bonnes, il est utile d’exécuter à la main, au brouillon, la première et la dernière boucle que fait l’algorithme considéré, pour voir si l’algorithme passe bien par toutes les valeurs nécessaires, et si au contraire il n’en fait pas une (ou plusieurs) de trop.

Et enfin, un conseil récurrent : il faut encore et toujours se demander si les questions précédentes ne peuvent pas être réutilisées, pour gagner du temps à la fois dans la résolution des problèmes et dans la rédaction.