Que tu sois en terminale ou dans le supérieur, que tu veuilles approfondir le programme ou simplement revoir certaines notions, tu es au bon endroit ! Aujourd’hui, on s’attaque à la loi géométrique, une loi de probabilité essentielle qui permet de savoir combien d’essais il faut en moyenne avant de décrocher un premier succès.
Qu’est-ce que la loi géométrique ?
La loi géométrique est une loi de probabilité discrète qui modélise le nombre d’essais nécessaires pour obtenir le premier succès dans une série d’essais indépendants, où la probabilité de succès à chaque essai est égale à \( p \) (\( p \in ]0 ; 1] \)).
En d’autres termes, si \( X \) représente la variable aléatoire qui correspond au nombre d’essais nécessaires pour obtenir le premier succès dans une succession d’épreuves de Bernoulli, alors \( X \) suit une loi géométrique de paramètre \( p \). La probabilité d’obtenir le premier succès au \( k \)-ème essai est donnée par la formule :
\[ P(X = k) = (1 – p)^{k-1} \times p \]
où :
– \( p \) est la probabilité de succès à chaque essai (\( 0 < p \leq 1 \)),
– \( 1 – p \) est la probabilité d’échec à chaque essai,
– \( k \) est le nombre d’essais nécessaires avant d’obtenir le premier succès, avec \( k \in \mathbb{N}^+ \).
Démonstration de la loi géométrique
En effet, pour que le premier succès survienne au \( k \)-ème essai, les \( k-1 \) premiers essais doivent être des échecs, chacun ayant une probabilité \( 1 – p \). Le \( k \)-ème essai doit être un succès, avec une probabilité \( p \). Les essais étant indépendants, la probabilité d’obtenir \( k-1 \) échecs suivis d’un succès est le produit des probabilités.
Espérance de la loi géométrique
L’espérance de la variable aléatoire \( X \), représentant le nombre d’essais nécessaires avant d’obtenir le premier succès, correspond à la moyenne attendue du nombre d’essais avant ce succès. Pour une loi géométrique, l’espérance est donnée par la formule :
\[ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{p} \]
où \( p \) est la probabilité de succès à chaque essai. Cette formule indique que, en moyenne, il faut \( \frac{1}{p} \) essais pour obtenir le premier succès. Par exemple, si la probabilité de succès est de 0,2 (soit 20 %), l’espérance est de 5 essais.
Variance de la loi géométrique
La variance de la variable aléatoire \( X \), représentant le nombre d’essais nécessaires avant d’obtenir le premier succès, mesure la dispersion du nombre d’essais autour de l’espérance. Pour une loi géométrique, la variance est donnée par la formule :
\[ \mathbb{V}[X] = \frac{1 – p}{p^2} \]
où \( p \) est la probabilité de succès à chaque essai. Cette formule indique que la dispersion du nombre d’essais nécessaires pour obtenir le premier succès est inversement proportionnelle au carré de la probabilité de succès. Par exemple, si la probabilité de succès est de 0,2 (soit 20 %), la variance est de 20.
Propriété d’absence de mémoire de la loi géométrique
Une des propriétés les plus intéressantes de la loi géométrique est son absence de mémoire. Cela signifie que la probabilité d’obtenir un succès après \( n \) essais supplémentaires ne dépend pas du nombre d’essais déjà effectués. Autrement dit, pour \( m, n \in \mathbb{N}^+ \), on a :
\[ P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n) \]
En d’autres termes, si l’on n’a pas eu de succès après \( m \) essais, la probabilité qu’il faille encore \( n \) essais pour obtenir un succès est la même que la probabilité qu’il faille \( n \) essais dans une situation de départ.
OK, maintenant que tu as les bases de la loi géométrique, il est temps de passer aux choses sérieuses ! Place à la pratique avec un exercice pour bien ancrer ces concepts.
Exercice sur la loi géométrique
Énoncé de l’exercice
On lance une pièce truquée, avec une probabilité d’obtenir pile de \( \frac{1}{4} \) et une probabilité d’obtenir face de \( \frac{3}{4} \). Les lancers sont identiques et indépendants. \( X \) représente le nombre de lancers nécessaires pour que le joueur obtienne pile.
Questions
1. Quelle est la loi de Bernoulli associée à chaque lancer de cette pièce ?
2. Montrez que l’on peut modéliser \( X \) par une loi géométrique.
3. Quel est le nombre moyen de lancers nécessaires pour obtenir pile ?
4. Calcule \( P(X \geq 4) \).
5. Interprète le résultat de \( P(X \geq 4) \).
Réponses :
1. Quelle est la loi de Bernoulli associée à chaque lancer de cette pièce ?
Chaque lancer de la pièce suit une loi de Bernoulli avec une probabilité de succès \( p = \frac{1}{4} \) (obtenir pile) et une probabilité d’échec \( q = 1 – p = \frac{3}{4} \) (obtenir face).
2. Montrez que l’on peut modéliser \( X \) par une loi géométrique.
La variable aléatoire \( X \) représente le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier succès (pile). Puisque chaque lancer est indépendant et identique, et que la probabilité de succès \( p \) est constante, \( X \) suit une loi géométrique de paramètre \( p = \frac{1}{4} \).
La probabilité d’obtenir le premier pile au \( k \)-ème lancer est donnée par :
\[ P(X = k) = (1 – p)^{k-1} \times p = \left(\frac{3}{4}\right)^{k-1} \times \frac{1}{4} \]
3. Quel est le nombre moyen de lancers nécessaires pour obtenir pile ?
L’espérance \( \mathbb{E}[X] \) d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique est donnée par :
\[ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 \]
Donc, le nombre moyen de lancers nécessaires pour obtenir pile est de 4.
4. Calculez \( P(X \geq 4) \).
Pour calculer \( P(X \geq 4) \), nous devons d’abord calculer \( P(X < 4) \) et utiliser la propriété \( P(X \geq 4) = 1 – P(X < 4) \).
\[ P(X < 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \]
Calculons chaque terme :
\[ P(X = 1) = p = \frac{1}{4} \]
\[ P(X = 2) = (1 – p) \times p = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16} \]
Enfin, \[ P(X = 3) = (1 – p)^2 \times p = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times \frac{1}{4} = \frac{9}{16} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64} \]
Donc,
\[ P(X < 4) = \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} \]
Pour additionner ces fractions, trouvons un dénominateur commun (64) :
\[ P(X < 4) = \frac{16}{64} + \frac{12}{64} + \frac{9}{64} = \frac{37}{64} \]
Enfin,
\[ P(X \geq 4) = 1 – P(X < 4) = 1 – \frac{37}{64} = \frac{64}{64} – \frac{37}{64} = \frac{27}{64} \]
5. Interprétez le résultat de \( P(X \geq 4) \).
Le résultat \( P(X \geq 4) = \frac{27}{64} \) signifie que la probabilité qu’il faille au moins 4 lancers pour obtenir pile est de \( \frac{27}{64} \), soit environ 42,2 %. Cela indique qu’il y a une chance relativement élevée (plus de 40 %) que le joueur ait besoin de 4 lancers ou plus pour obtenir son premier pile. Cela reflète la faible probabilité de succès (25 %) à chaque lancer.
