Cet article est un peu différent des autres, en effet il te permettra de démontrer la loi de Poisson comme limite de lois binomiales, et ensuite, tu pourras t’exercer sur un exercice d’application à la loi de Poisson. Si tu es en terminale et que tu souhaites continuer les mathématiques vers le supérieur ou simplement que tu souhaites t’entraîner pour le baccalauréat, cet article est alors fait pour toi.
Introduction de la loi de Poisson comme limite de lois binomiales
⚠️ Si tu n’es pas très à l’aise avec les mathématiques, je te conseille de te diriger directement vers la partie exercice ci-dessous, en effet cette partie est assez complexe.
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète suivant une loi binomiale de paramètre \(n\) et \(p\).
Le but de cet exercice est de montrer que la variable aléatoire \(X\) suit une loi de Poisson de paramètre \(a\), où \(a=np>0\). La variable aléatoire \(Y\) suit une loi de Poisson si \(\forall k \geq 0, P(Y=k) = \frac{a^k}{k!} e^{-a}\).
(1) Montrer que pour \(0 \leq k \leq n\), \(P(X_n=k) = \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!} p^k (1-p)^{n-k}\).
(2) Montrer que pour tout entier naturel \(n>0\),
\[
P(X_n=k)=\frac{(np)^k \left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)}{k!} \left(1-p\right)^{n-k}
\]
(3) On pose \(np=a \Rightarrow p=\frac{a}{n}\), remplacer tous les \(p\).
(4) Montrer que
\[
\lim_{n \to +\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right) \left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right)=\lim_{n \to +\infty}\left(1-\frac{a}{n}\right)^{-k}=1
\]
(5) Montrer que
\[
\lim_{n \to +\infty} \left(1-\frac{a}{n}\right)^{-n}=e^{-a}
\]
(6) En déduire que
\[
\lim_{n \to +\infty} P(X_n=k)=P(Y=k)
\]
Que peut-on en déduire ?
(1) Pour tous entiers naturels \(n\) et \(k \leq n\):
\(\ P(X_n=k) = {{n}\choose{k}} p^k (1-p)^{n-k} \)
\[
= \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}
\]
\[
= \frac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)}{k!} p^k (1-p)^{n-k}
\]
(2) Pour tout entier naturel \(n>0\):
\[
P(X_n=k)=\frac{n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)}{k!} p^k (1-p)^{n-k}
\]
\[
= \frac{n(n(1-\frac{1}{n})n(1-\frac{2}{n})\ldots n\left(1-\frac{k-1}{n}\right))}{k!} p^k (1-p)^{n-k}
\]
\[
= \frac{n^{k-1} n\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\ldots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}{k!} p^k (1-p)^{n-k}
\]
(3) Pour tout entier naturel \(n>0\):
\[
P(X_n=k)=\frac{(\frac{an}{n})^k \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\ldots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}{k!} \left(1-\frac{a}{n}\right)^{n-k}
\]
\[
= \frac{a^k \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\ldots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}{k!} \left(1-\frac{a}{n}\right)^{n-k}
\]
(4) \[
\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n}=\lim_{n\to+\infty} \frac{2}{n}=\ldots=\lim_{n\to+\infty} \frac{k-1}{n}=0
\]
Donc
\[
\lim_{n\to+\infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\ldots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)=1
\]
\[
\left(1-\frac{a}{n}\right)^{-k}=\frac{1}{\left(1-\frac{a}{n}\right)^k}
\]
\[
\lim_{n\to+\infty} 1-\frac{a}{n}=1
\]
Donc
\[
\lim_{n\to+\infty} \left(1-\frac{a}{n}\right)^k=1
\]
Donc
\[
\lim_{n\to+\infty} \left(1-\frac{a}{n}\right)^{-k}=1
\]
(5) \[
\left(1-\frac{a}{n}\right)^n=e^{n\ln\left(1-\frac{a}{n}\right)}=e^{-\frac{(a\ln\left(1-\frac{a}{n}\right))}{\frac{-a}{n}}}
\]
\[
\lim_{n\to+\infty} -\frac{a}{n}=0
\]
\[
\lim_{X\to 0}-\frac{a\ln(1-X)}{X}=-a\times1
\]
Ainsi, par composition
\[
\lim_{n\to+\infty} -\frac{a\ln\left(1-\frac{a}{n}\right)}{\frac{-a}{n}}=-a
\]
\[\lim_{n \to +\infty} e^{-\left(a\ln\left(1-\frac{a}{n}\right)\right) \frac{-n}{a}} = e^{-a}\]
\[
\lim_{n\to+\infty} \left(1-\frac{a}{n}\right)^n \left(1-\frac{a}{n}\right)^{-k}=e^{-a}
\]
(6) \[
\lim_{n\to+\infty} \frac{a^k \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\ldots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)}{k!} \left(1-\frac{a}{n}\right)^{n-k}=\frac{a^k e^{-a}}{k!}
\]
\[
\lim_{n\to+\infty} P(X_n=k)=P(Y=k)
\]
La loi binomiale converge donc en loi vers la loi de Poisson.
Définition et propriété sur la loi de Poisson
Une variable aléatoire \(\ X \) suit une loi de Poisson de paramètre \(\ \lambda \) lorsque \(\ X( \Omega ) = N \) et \(\ P(X=k) = e^{- \lambda } \frac{ \lambda^k}{k!} \). En général, il est inscrit sur le sujet si vous devez utiliser la loi de Poisson, en effet il n’existe pas de modèle simple pour cette loi.
Si \(\ X \) suit une loi de poisson, alors \(\ X \) admet une espérance et une variance.
On a : \(\ E (X) = \lambda \) et \(\ V(X) = \lambda \).
À toi de jouer
Loi de Poisson, d’après un sujet ECT de l’ESC Chambery
On dispose de deux urnes \(u_1\) et \(u_2\).
L’urne \(u_1\) contient 20 boules dont une rouge et 19 blanches.
L’urne \(u_2\) contient 20 boules dont 3 rouges et 17 blanches.
On désigne par ” partie” le protocole suivant :
On choisit une urne de manière équiprobable, puis on tire une boule de cette urne et on note sa couleur, enfin on remet la boule tirée dans l’urne dont elle provient.
(1) Dans cette question uniquement on effectue une seule partie et on s’intéresse à l’évènement \(R\) : ” la boule tirée est rouge “. Montrer que \(P(R)=\frac{1}{10}\).
(2) Dans cette question le joueur effectue non pas une mais 40 parties.
On appelle \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où il a obtenu la couleur rouge au cours de ces 40 parties.
(a) Déterminer la loi de \(X\).
On précisera en particulier \(X(\Omega)\) et \(P(X=k)\) pour tout \(k\) de \(X(\Omega)\).
(b) En moyenne, combien de fois le joueur obtiendra-t-il la couleur rouge en 40 parties ?
(c) On considère que l’on peut approcher \(X\) par une variable \(Z\) qui suit une loi de Poisson \(P(\lambda)\), de paramètre \(\lambda=4\). En utilisant cette approximation et en vous aidant de la table fournie, déterminer une valeur approchée de la probabilité que le joueur ait obtenu au moins deux fois la couleur rouge au cours de ces 40 parties.
Table de la loi de Poisson de paramètre 4 :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
k & P(Z=k) \\
\hline
0 & 0,018 \\
1 & 0,073 \\
2 & 0,147 \\
3 & 0,195 \\
4 & 0,195 \\
5 & 0,156 \\
6 & 0,104 \\
\hline
\end{array}
\]
(1)
Soit \(U\) l’événement :”l’urne choisie est l’urne 1”
\[P(R)= P(U\cap R)+P(U\cap R) =\frac{1}{2}\times\frac{1}{20}+\frac{1}{2}\times\frac{3}{20} =\frac{1}{10}\]
(2) (a)
\(X\) est la variable qui compte le nombre de fois où le joueur a obtenu la couleur rouge dont la probabilité est de \(\frac{1}{10}\) au cours de ces 40 parties identiques et indépendantes. Ainsi \(X\) suit la loi binomiale de paramètre \(p=\frac{1}{10}\) et \(n=40\).
\(\forall k\in[0,40],P(X=k)={{40}\choose{k}} \left(\frac{1}{10}\right)^{40} \left(\frac{9}{10}\right)^{40-k}\)
(b) \(E(X)=\frac{1}{10}\times40=4\), en moyenne le joueur obtiendra environ 4 fois la couleur rouge.
(c) \(Z\) est la variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda=4\).
\(\forall k\in\mathbb{N},P(Z=k)=\frac{4^k}{k!} e^{-4}\)
\[
\begin{aligned}
P(Z \geq 2) &= 1 – P(Z=1) – P(Z=0) \\
&= 1 – 0,073 – 0,018 \\
&= 0,909
\end{aligned}
\]
