Une méthode de maths bien comprise, c’est un réflexe de gagné pour de nombreux exercices. Aujourd’hui, dans le cadre du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, on t’en présente une en détail, avec toutes les étapes à suivre et un exemple corrigé.
Présentation de la méthode
Comment étudier la position relative de deux courbes ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En étudiant le signe de \(f(x) – g(x)\)
L’objectif est de déterminer quelle courbe est au-dessus de l’autre sur un intervalle donné.
Pour cela, le principe est que si \(f(x) – g(x) \geq 0\) sur \(I\), alors \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur \(I\).
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Étudier la position relative des courbes de \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\) sur \(\mathbb{R}\).
Le détail de la méthode par étape
- Je pose \(d(x) = f(x) – g(x)\).
- J’étudie le signe de \(d(x)\) (en résolvant \(d(x) = 0\) et/ou en étudiant les variations de \(d\)).
- J’en déduis les intervalles où \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) (\(d(x) \geq 0\)) et inversement (\(d(x) \leq 0\)).
- J’identifie les éventuels points d’intersection (\(d(x) = 0\)).
À toi de jouer sur cet exercice !
Étudier la position relative des courbes de \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\) sur \(\mathbb{R}\).
Voir la correction
\(d(x) = x^2 – x = x(x – 1)\).
\(d(x) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = 1\). \(d(x) > 0\) sur \(]-\infty\,;0[ \cup ]1\,;+\infty[\) et \(d(x) < 0\) sur \(]0\,;1[\).
\(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) sur \(]-\infty\,;0]\) et \([1\,;+\infty[\), et en dessous sur \([0\,;1]\).
Les courbes se coupent en \((0\,;0)\) et \((1\,;1)\). « `graph {“type »:”cartesian”,”xRange”:[-0.5,2],”yRange”:[-0.5,2],”elements”:[{« kind »:”function”,”expr”:”x*x”,”color”:”blue”},{« kind »:”function”,”expr”:”x”,”color”:”green”},{« kind »:”point”,”x”:0,”y”:0,”color”:”red”,”label”:”(0;0)”},{« kind »:”point”,”x”:1,”y”:1,”color”:”red”,”label”:”(1;1)”}]} “`
\(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) pour \(x \leq 0\) et \(x \geq 1\), en dessous pour \(0 \leq x \leq 1\).
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
L’essentiel n’est pas de retenir la correction par cœur, mais de comprendre pourquoi chaque étape intervient à ce moment précis. C’est ce qui te permettra de l’adapter à d’autres exercices.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
👉 Voir d’autres méthodes sur Variations et courbes représentatives sur metmat.fr
