Certaines méthodes reviennent sans cesse dans les exercices, mais restent floues tant qu’on ne les a pas vues appliquées noir sur blanc. C’est l’objectif de cet article, publié en partenariat avec metmat.fr : t’en présenter une, étape par étape, avec un exemple corrigé.
Présentation de la méthode
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En distinguant \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\)
L’objectif est de ne pas confondre \(P_A(B)\) et \(P_B(A)\) et savoir calculer l’une connaissant l’autre.
Pour cela, le principe est qu’en général \(P_A(B) \neq P_B(A)\). La confusion est fréquente dans les tests de dépistage : « être malade sachant que le test est positif » n’est pas « avoir un test positif sachant qu’on est malade ».
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Un test de dépistage a les caractéristiques suivantes : \(P_M(T^+) = 0{,}95\) (sensibilité) et \(P(M) = 0{,}01\). On a aussi \(P_{\overline{M}}(T^+) = 0{,}03\). Calculer \(P_{T^+}(M)\) (valeur prédictive positive) et comparer avec \(P_M(T^+)\).
Le détail de la méthode par étape
- Je reformule précisément la question posée pour identifier quel événement est la condition et quel événement est le résultat.
- Je calcule séparément \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\) et \(P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\) si nécessaire.
- Je compare les deux résultats et j’interprète la différence dans le contexte du problème.
À toi de jouer sur cet exercice !
Un test de dépistage a les caractéristiques suivantes : \(P_M(T^+) = 0{,}95\) (sensibilité) et \(P(M) = 0{,}01\). On a aussi \(P_{\overline{M}}(T^+) = 0{,}03\). Calculer \(P_{T^+}(M)\) (valeur prédictive positive) et comparer avec \(P_M(T^+)\).
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\(P_M(T^+) = 0{,}95\) signifie : « sachant qu’on est malade, le test est positif ». On cherche \(P_{T^+}(M)\) : « sachant que le test est positif, on est malade ». Ce sont deux probabilités conditionnelles différentes.
\(P(T^+) = P_M(T^+) \times P(M) + P_{\overline{M}}(T^+) \times P(\overline{M}) = 0{,}95 \times 0{,}01 + 0{,}03 \times 0{,}99 = 0{,}0095 + 0{,}0297 = 0{,}0392\). \(P_{T^+}(M) = \dfrac{P_M(T^+) \times P(M)}{P(T^+)} = \dfrac{0{,}0095}{0{,}0392} \approx 0{,}242\).
\(P_M(T^+) = 0{,}95\) mais \(P_{T^+}(M) \approx 0{,}24\) : un test positif ne signifie pas qu’on est malade avec \(95\,\%\) de chance, mais seulement environ \(24\,\%\).
\(P_{T^+}(M) \approx 0{,}242\) alors que \(P_M(T^+) = 0{,}95\) : les deux probabilités sont très différentes.
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
Si un point te semble encore flou, relis calmement chaque étape une par une : c’est souvent en ralentissant qu’on comprend vraiment pourquoi une méthode fonctionne.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
👉 Voir d’autres méthodes sur Probabilités conditionnelles et indépendance sur metmat.fr
