Dans cet article conçu en partenariat avec metmat.fr, on s’attarde sur une méthode de maths incontournable. Après avoir posé son objectif et son principe, on détaille chaque étape de sa mise en œuvre, illustrée par un exemple corrigé.
Présentation de la méthode
Comment établir une inégalité à l’aide des variations d’une fonction ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En exploitant un extremum ou la monotonie
L’objectif est de démontrer une inégalité en utilisant les propriétés de variation d’une fonction.
Pour cela, le principe est que si \(f\) admet un minimum \(m\) sur un intervalle \(I\), alors \(f(x) \geq m\) pour tout \(x \in I\).
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Montrer que pour tout \(x \geq 0\), \(x^2 + 1 \geq 2x\).
Le détail de la méthode par étape
- Je définis une fonction auxiliaire \(f\) à partir de l’inégalité à prouver (en passant tout d’un côté).
- Je calcule \(f'(x)\) et j’étudie les variations de \(f\) sur le domaine concerné.
- Je détermine le minimum (ou maximum) de \(f\) et je vérifie son signe.
- J’en déduis l’inégalité demandée.
À toi de jouer sur cet exercice !
Montrer que pour tout \(x \geq 0\), \(x^2 + 1 \geq 2x\).
Voir la correction
On pose \(f(x) = x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2\) sur \([0\,;+\infty[\).
\(f« (x) = 2x – 2\). \(f »(x) < 0\) sur \([0\,;1[\) et \(f'(x) > 0\) sur \(]1\,;+\infty[\).
\(f\) admet un minimum en \(x = 1\) : \(f(1) = 0\).
Donc \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x \geq 0\), soit \(x^2 + 1 \geq 2x\).
Pour tout \(x \geq 0\), \(x^2 + 1 \geq 2x\), avec égalité si et seulement si \(x = 1\).
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
Si cet exercice t’a semblé difficile, c’est normal la première fois : reviens-y après avoir revu le cours, tu verras que la méthode paraît bien plus naturelle au second essai.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
👉 Voir d’autres méthodes sur Variations et courbes représentatives sur metmat.fr
