Aujourd’hui, dans le cadre du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, on te propose de revoir une méthode de maths essentielle. Objectif, principe, étapes à suivre : tout est détaillé, et un exemple corrigé vient conclure l’article pour t’exercer.
Présentation de la méthode
Comment étudier la configuration d’une droite et d’un plan (intersection, parallélisme, appartenance) ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En substituant la représentation paramétrique de la droite dans l’équation du plan pour trouver \(t\) (solution unique = sécante, impossible = parallèle, toujours vraie = incluse)
L’objectif est de déterminer si une droite est sécante, parallèle ou incluse dans un plan, et calculer le point d’intersection le cas échéant.
Pour cela, le principe est que substituer la représentation paramétrique dans l’équation du plan donne une équation en \(t\) : une solution → point d’intersection ; pas de solution → droite parallèle (strictement) ; identité → droite incluse dans le plan.
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
(Cas sécant) La droite \(d : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = -1 + t \end{cases}\) et le plan \(\mathcal{P} : x + y – z – 4 = 0\). Étudier leur configuration.
Le détail de la méthode par étape
- Écrire la représentation paramétrique de la droite \(d\) : \(x = x_0 + at\), \(y = y_0 + bt\), \(z = z_0 + ct\).
- Substituer ces expressions dans l’équation cartésienne du plan et simplifier pour obtenir une équation en \(t\).
- Analyser l’équation obtenue : si elle admet une solution unique \(t_0\), calculer les coordonnées du point d’intersection ; si elle est impossible, la droite est strictement parallèle au plan ; si elle est une identité (\(0 = 0\)), la droite est entièrement incluse dans le plan.
À toi de jouer sur cet exercice !
(Cas sécant) La droite \(d : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = -1 + t \end{cases}\) et le plan \(\mathcal{P} : x + y – z – 4 = 0\). Étudier leur configuration.
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Représentation paramétrique : \(x = 1+t\), \(y = 2t\), \(z = -1+t\).
Substitution : \((1+t) + 2t – (-1+t) – 4 = 0 \Rightarrow 1+t+2t+1-t-4 = 0 \Rightarrow 2t – 2 = 0 \Rightarrow t = 1\).
Solution unique \(t = 1\) : la droite est sécante au plan. Point d’intersection : \(x = 2\), \(y = 2\), \(z = 0\), soit \(I(2, 2, 0)\).
\(d\) est sécante à \(\mathcal{P}\) en \(I(2, 2, 0)\)
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
Retiens la logique d’ensemble plutôt que chaque ligne de calcul : une fois le raisonnement compris, les calculs suivent naturellement.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
👉 Voir d’autres méthodes sur Représentations paramétriques et équations cartésiennes sur metmat.fr
