Chaque méthode de maths repose sur un principe simple, une fois qu’on l’a bien compris. C’est tout l’objet de cette rubrique « la méthode du jour », en partenariat avec metmat.fr : t’expliquer pas à pas une technique à connaître, avec un exercice corrigé à la clé.
Présentation de la méthode
Comment trouver les points d’inflexion d’une courbe ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En cherchant les points où \(f”\) s’annule et change de signe
L’objectif est de trouver et caractériser les points d’inflexion d’une courbe, c’est-à-dire les points où la courbe change de sens de courbure.
Pour cela, le principe est qu’un point \((a, f(a))\) est un point d’inflexion si et seulement si \(f”\) s’annule en \(a\) et change de signe en \(a\) (passage de convexe à concave ou inversement).
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Trouver les points d’inflexion de \(f(x) = x^3 – 3x\).
Le détail de la méthode par étape
- Calculer \(f”(x)\) en dérivant deux fois \(f\).
- Résoudre \(f”(x) = 0\) pour trouver les candidats \(x = a\).
- Vérifier que \(f”\) change de signe en chaque candidat \(a\) en dressant un tableau de signe de \(f”\). Si \(f”\) ne change pas de signe, le point n’est pas un point d’inflexion.
- Calculer les coordonnées du point d’inflexion : \((a, f(a))\), et donner l’équation de la tangente en ce point : \(y = f(a) + f'(a)(x – a)\).
À toi de jouer sur cet exercice !
Trouver les points d’inflexion de \(f(x) = x^3 – 3x\).
Voir la correction
\(f'(x) = 3x^2 – 3\), \(f”(x) = 6x\).
\(f”(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
« `variation {“variable »:”x”,”boundaries”:[« -\\infty »,”0″,”+\\infty”],”rows”:[{« label »:”f”(x)=6x”,”type”:”sign”,”zones”:[« -“, »+”],”boundary_markers”:[null,”0″,null]}]} « ` \(f »\) change bien de signe en \(x = 0\) (de \(-\) à \(+\)).
Le point d’inflexion est \((0, f(0)) = (0, 0)\). La tangente en ce point : \(f'(0) = -3\), donc \(y = -3x\). « `graph {“type »:”cartesian”,”xRange”:[-2.5,2.5],”yRange”:[-4,4],”elements”:[{« kind »:”function”,”expr”:”x*x*x-3*x”,”color”:”blue”},{« kind »:”function”,”expr”:”-3*x”,”color”:”orange”},{« kind »:”point”,”x”:0,”y”:0,”color”:”red”,”label”:”inflexion (0,0)”}]} “`
Le point d’inflexion est \(I(0, 0)\), tangente d’équation \(y = -3x\).
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
N’hésite pas à refaire cet exercice sans regarder la correction, puis à comparer ta démarche à celle proposée ici. C’est en la répétant que la méthode devient un vrai réflexe.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
👉 Voir d’autres méthodes sur Compléments sur la dérivation sur metmat.fr
