Après avoir étudié les fonctions affines et les fonctions polynomiales simples, il est temps de découvrir une nouvelle famille de fonctions qui joue un rôle central en analyse : les fonctions homographiques. Ces fonctions, définies par un rapport de deux expressions affines, apparaissent dans de nombreuses situations mathématiques et concrètes.
Elles permettent notamment de comprendre certains comportements de croissance et de décroissance, d’introduire la notion d’asymptote (essentielle dans l’étude des limites) et d’interpréter des courbes plus complexes que les droites ou les paraboles. Une fois maîtrisées, elles deviennent un outil puissant pour résoudre des équations rationnelles et modéliser des phénomènes réels.
Définition d’une fonction homographique
Une fonction homographique est une fonction qui s’écrit sous la forme :
\(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\)
où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des réels, avec la condition \(ad – bc \neq 0\).
Cette condition est essentielle : elle garantit que la fonction n’est pas équivalente à une fonction constante. En effet, si \(ad – bc = 0\), on pourrait simplifier le rapport en une simple fonction affine.
Le domaine de définition de \(f\) est \(\mathbf{R}\) privé du point où le dénominateur s’annule, c’est-à-dire \(x \neq \frac{- d}{c}\) (si \(c \neq 0\)).
Exemples :
- \(f(x) = \frac{2x + 1}{x – 3}\) est homographique, avec \(a=2\), \(b=1\), \(c=1\), \(d=−3\)
- \(g(x) = \frac{3x}{2x}\) n’est pas une fonction homographique au sens strict, car la simplification donne \(g(x) = \frac{3}{2}\), une constante.
Propriétés fondamentales
Domaine de définition
Si \(c \neq 0\), la fonction \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\) n’est pas définie en \(x = \frac{- d}{c}\). On parle alors d’une valeur interdite.
Comportement à l’infini
En étudiant la limite quand \(x → +\infty \) ou \(x → -\infty \), on remarque que le terme dominant est celui en \(x\), au numérateur et au dénominateur. Ainsi :
\(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{a}{c}\)
La fonction admet donc une asymptote horizontale donnée par \(y = \frac{a}{c}\).
Asymptote verticale
La fonction est non définie en \(x = \frac{- d}{c}\). En étudiant la limite à gauche et à droite de ce point, on trouve que la fonction tend vers +\(\infty\) ou -\(\infty\). Ainsi, la droite \(x = \frac{- d}{c}\) est une asymptote verticale.
Monotonie et symétrie
Une fonction homographique est toujours strictement monotone (soit strictement croissante, soit strictement décroissante) sur chacun de ses deux intervalles de définition séparés par l’asymptote verticale.
Cette fonction possède également une particularité géométrique : sa courbe représentative est toujours une hyperbole, dont les branches sont situées de part et d’autre des asymptotes.
Réécriture sous forme réduite
Pour mieux comprendre la géométrie de \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\), il est très utile de la réécrire sous forme réduite. On effectue une division polynomiale :
\(f(x) = \frac{a}{c} + \frac{ad – bc}{c(cx+d)}\)
Cette écriture met en évidence :
- L’asymptote horizontale \(y = \frac{a}{c}\)
- L’influence du terme résiduel \(\frac{ad – bc}{c(cx + d)}\), qui traduit l’écart entre la courbe et son asymptote.
Cette transformation est un outil essentiel pour comprendre rapidement le graphe.
Représentation graphique
Pour tracer la courbe d’une fonction homographique :
- Commence par identifier le domaine de définition et placer l’asymptote verticale.
- Repère l’asymptote horizontale en étudiant la limite à l’infini.
- Évalue l’image de quelques points simples pour déterminer où se situent les branches de l’hyperbole.
- Vérifie la monotonie sur chaque intervalle séparé par l’asymptote verticale : si la fonction est croissante d’un côté, elle le sera aussi de l’autre (mais en sens opposé par rapport aux asymptotes).
Graphiquement, une fonction homographique donne toujours une hyperbole, soit située dans les quadrants opposés, soit dans les quadrants adjacents, selon le signe de \(ad – bc\).
Ces fonctions ne sont pas seulement un objet théorique :
- En optique, les lois de conjugaison reliant la distance focale, la distance objet et la distance image reposent sur des relations homographiques.
- En économie, certains modèles utilisent des fonctions de demande ou d’offre de type rationnel proche des homographies.
- En informatique graphique, elles apparaissent dans les transformations de perspective, où un point de l’espace est projeté en suivant une transformation homographique.
Elles constituent donc un outil universel pour modéliser et interpréter des phénomènes où une grandeur varie « en raison inverse » d’une autre.
Exercices
Exercice 1 :
On considère : \(f(x) = \frac{2x + 3}{x – 1}\).
- Détermine le domaine de définition.
- Calcule les asymptotes verticale et horizontale.
- Étudie le sens de variation de \(f\).
Exercice 2 :
On considère : \(g(x) = \frac{x – 2}{x + 3}\).
- Montre que \(g(x)\) peut se réécrire sous la forme : \(g(x) = 1 – \frac{5}{x + 3}\)
- Déduis-en les asymptotes.
Correction
Exercice 1 :
- Le dénominateur s’annule pour \(x = 1\). Donc le domaine est \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\)
- \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{2}{1} = 2\). Asymptote horizontale : \(y = 2\). De plus, il existe une asymptote verticale en \(x = 1\).
- Comme \(ad – bc = -5 < 0\), la fonction est strictement décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(1;+\infty[\).
Exercice 2 :
- Division polynomiale : \(\frac{x – 2}{x + 3} = \frac{(x + 3) – 5}{x + 3} = 1 – \frac{5}{x + 3}\)
- Ainsi \(y = 1\) est une asymptote horizontale, et \(x = -3\) est une asymptote verticale.
- Comme \(ad – bc = 5 > 0\), la fonction est croissante sur chacun des deux intervalles de définition. On obtient une hyperbole dont les branches sont situées dans les quadrants adjacents.
Plus qu’un exercice de calcul, les fonctions homographiques te donnent l’occasion de voir que chaque fonction mathématique est une manière d’organiser et de comprendre une relation entre des quantités. En maîtrisant cette famille de fonctions, tu enrichis considérablement ton arsenal pour les prochaines étapes de l’analyse.
