Chaque méthode de maths repose sur un principe simple, une fois qu’on l’a bien compris. C’est tout l’objet de cette rubrique « la méthode du jour », en partenariat avec metmat.fr : t’expliquer pas à pas une technique à connaître, avec un exercice corrigé à la clé.
Présentation de la méthode
Comment déterminer les extremums d’une fonction ?
Pour faire face à une telle situation, nous allons apprendre aujourd’hui la méthode suivante : En cherchant les points où \(f’\) s’annule en changeant de signe
L’objectif est de déterminer les extremums locaux d’une fonction dérivable.
Pour cela, le principe est que si \(f'(a) = 0\) et \(f’\) change de signe en \(a\), alors \(f\) admet un extremum local en \(a\) ; \(f’\) passe de \(+\) à \(-\) donne un maximum, de \(-\) à \(+\) donne un minimum.
Que ferais-tu par exemple face à cet exercice ?
Déterminer les extremums de \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4\) sur \(\mathbb{R}\).
Le détail de la méthode par étape
- Je calcule \(f« (x)\) et je résous \(f »(x) = 0\).
- Pour chaque solution \(a\), j’étudie le signe de \(f’\) juste avant et juste après \(a\).
- Si \(f’\) passe de \(+\) à \(-\), \(f(a)\) est un maximum local ; si \(f’\) passe de \(-\) à \(+\), \(f(a)\) est un minimum local. Si \(f’\) ne change pas de signe, pas d’extremum.
- Je calcule \(f(a)\) pour donner la valeur de l’extremum.
À toi de jouer sur cet exercice !
Déterminer les extremums de \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 4\) sur \(\mathbb{R}\).
Voir la correction
\(f« (x) = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2)\). \(f »(x) = 0 \iff x = 0\) ou \(x = 2\).
Pour \(x = 0\) : \(f« (-1) = 9 > 0\) et \(f »(1) = -3 < 0\). Pour \(x = 2\) : \(f« (1) = -3 < 0\) et \(f »(3) = 9 > 0\).
En \(x = 0\), \(f’\) passe de \(+\) à \(-\) : maximum local. En \(x = 2\), \(f’\) passe de \(-\) à \(+\) : minimum local.
\(f(0) = 4\) et \(f(2) = 8 – 12 + 4 = 0\). « `graph {“type »:”cartesian”,”xRange”:[-1.5,3.5],”yRange”:[-1,6],”elements”:[{« kind »:”function”,”expr”:”x*x*x – 3*x*x + 4″,”color”:”blue”},{« kind »:”point”,”x”:0,”y”:4,”color”:”red”,”label”:”max(0;4)”},{« kind »:”point”,”x”:2,”y”:0,”color”:”orange”,”label”:”min(2;0)”}]} “`
\(f\) admet un maximum local \(4\) en \(x = 0\) et un minimum local \(0\) en \(x = 2\).
👉 Voir les exercices suivants sur metmat.fr
N’hésite pas à refaire cet exercice sans regarder la correction, puis à comparer ta démarche à celle proposée ici. C’est en la répétant que la méthode devient un vrai réflexe.
Cet article fait partie du partenariat entre Au Futur et metmat.fr, le site pour cartonner en maths en appliquant la méthode de travail des excellents élèves.
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